Allgemeine lineare Gruppe/2/Konjugation/Fixraum/Aufgabe/Lösung

a) Zu  $g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$  ist

$g^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$

Somit ist die Operation explizit durch

$\begin{array}{cc}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\bullet \left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)& =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}ax+bz& ay+bw\\ cx+dz& cy+dw\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}adx+bdz-acy-bcw& -abx-b^{2}z+a^{2}y+abw\\ cdx+d^{2}z-c^{2}y-cdw& -bcx-bdz+acy+adw\end{array}\right)\end{array}$

gegeben.

b) Für Streckungsmatrizen, also für  $x=w$  und  $y=z=0$,  ist das Ergebnis wieder die gleiche Streckungsmatrix. Diese sind also invariant. Wir behaupten, dass die Streckungen die einzigen invarianten Matrizen sind. Die Konjugation beschreibt einen Basiswechsel. Wir können den Satz über die jordansche Normalform anwenden und erhalten zu einer Matrix $M$ eine äquivalente Matrix der Form

$\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& w\end{array}\right)\text{ oder }\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ 0& x\end{array}\right).$

Im ersten Fall sei  $x\ne w$  (der Streckungsfall wurde schon behandelt). In diesem Fall ergibt die Konjugation mit

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

die Matrix $\left(\begin{array}{cc}w& 0\\ 0& x\end{array}\right)$, was zeigt, dass diese Matrizen nicht invariant sind. Im zweiten Fall ergibt die Konjugation mit

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

für den Eintrag links unten den Wert  $1\ne 0$.  Diese Matrizen sind also auch nicht invariant.

c) Wir betrachten die lineare Abbildung

$V⟶V^G,M=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{cc}\frac{x+w}{2}& 0\\ 0& \frac{x+w}{2}\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{Spur}\left(M\right)& 0\\ 0& \mathrm{Spur}\left(M\right)\end{array}\right).$

Das Ergebnis ist eine Streckung und eine Streckung wird auf sich selbst abgebildet. Da sich die Spur bei Konjugation nicht ändert (als Summe der Eigenwerte),

ist diese Projektion $G$-invariant.

Zur gelösten Aufgabe