Allgemeine lineare Gruppe/Konjugation/Polynomring/Charakteristisches Polynom/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Operation der allgemeinen linearen Gruppe  ${}G=\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  auf dem Vektorraum der ${}n\times n$-Matrizen  ${}V=\operatorname {Mat} _{n}(K)$  durch Konjugation, also

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\times \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,(g,M)\longmapsto gMg^{-1},$

und die induzierte Operation der ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ auf dem Polynomring zu ${}\operatorname {Mat} _{n}(K)$ (also dem Polynomring in ${}n^{2}$ Variablen). Zeige, dass die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms von ${}M$ zum Invariantenring gehören.

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