Allgemeine lineare Gruppe/Konjugation und Basiswechsel/Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum über einem Körper ${}K$. Die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ operiert auf ${}\operatorname {Hom} {\left(V,V\right)}$ durch Konjugation, also durch

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times \operatorname {Hom} {\left(V,V\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} {\left(V,V\right)},\,(\varphi ,\theta )\longmapsto \varphi \circ \theta \circ \varphi ^{-1}.$

Diese Operation ist linear, siehe Aufgabe. Bei  ${}V=K^{n}$  ist das die Wirkungsweise der invertierbaren Matrizen auf dem Raum aller Matrizen, die einen Basiswechsel beschreibt, also

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\times \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,(B,M)\longmapsto B\circ M\circ B^{-1}.$

Die passende Interpretation ist, dass die Matrix ${}M$ eine lineare Abbildung bezüglich einer bestimmten Basis von ${}V$ beschreibt, dass ${}B$ den Basiswechsel von dieser Basis zu einer zweiten Basis beschreibt, und dass die neue Matrix ${}B\circ M\circ B^{-1}$ die gleiche lineare Abbildung bezüglich der zweiten Basis beschreibt. Siehe Fakt. Ein großer Teil der linearen Algebra dreht sich um die Frage, zu einer linearen Abbildung eine möglichst einfache Matrixbeschreibung zu finden.