Alternierende Abbildung/Kommutativer Ring/Vertauschungseigenschaft/Fakt

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, seien ${}V$ und ${}W$ Moduln über ${}R$ und sei  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es sei

$\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

eine alternierende Abbildung.

Dann gilt

$\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\,.$

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen