Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Konstruktion und Definition/Textabschnitt

Konstruktion

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ . Wir konstruieren das sogenannte $n$ -te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\overset{n}{⋀} V$ . Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form

(v_{1}, \dots, v_{n}) mit v_{i} \in V

und die zugehörige Menge der $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ . Wir betrachten den Vektorraum

H = K^{(S)},

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

a_{1} e_{s_{1}} + \dots + a_{k} e_{s_{k}} mit a_{i} \in K und s_{i} \in S,

die $e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes $Abb (S, K)$ (es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente $s \in S$ den Wert $0$ haben). In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$ , der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v + w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v, w \in V$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, a v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - a e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ und $a \in K$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{j - 1}, v, v_{j + 1}, \dots, v_{n})}

für $i < j$ und beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots,, v_{j - 1}, v_{j + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ .

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Terme zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

\overset{n}{⋀} V := H / U,

d.h. man bildet den Restklassenraum von $H$ modulo dem Unterraum $U$ .

Die Elemente $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ bilden dabei ein Erzeugendensystem von $H$ . Die Restklasse von $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ modulo $U$ bezeichnen wir mit

v_{1} \land \dots \land v_{n} .

Die Erzeuger von $U$ werden dann zu den Rechenregeln

\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land (v + w) \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} & = v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} + v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land w \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n}, \end{matrix}

v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land a v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} = a \cdot v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n}

und

v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{j - 1} \land v \land v_{j + 1} \land \dots \land v_{n} = 0 .

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Man nennt den (in Fakt konstruierten) $K$ -Vektorraum $\overset{n}{⋀} V$ die $n$ -te äußere Potenz (oder das $n$ -te Dachprodukt) von $V$ . Die Abbildung

V^{n} ⟶ \overset{n}{⋀} V, (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{n},

nennt man die universelle alternierende Abbildung.