Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Es gilt

   ${}{\begin{aligned}x_{n}^{2}-c&={\left({\frac {x_{n-1}+{\frac {c}{x_{n-1}}}}{2}}\right)}^{2}-c\\&={\frac {x_{n-1}^{2}+2c+{\frac {c^{2}}{x_{n-1}^{2}}}}{4}}-c\\&={\frac {x_{n-1}^{2}-2c+{\frac {c^{2}}{x_{n-1}^{2}}}}{4}}\\&={\left({\frac {x_{n-1}-{\frac {c}{x_{n-1}}}}{2}}\right)}^{2}\\&\geq 0.\end{aligned}}$

   Somit ist

   ${}x_{n}^{2}\geq c\,.$

   Wegen  ${}x_{n}\cdot {\frac {c}{x_{n}}}=c$  folgt nach Fakt  (8), dass  ${}{\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\leq c$  ist.

2. Aufgrund von (1) ist

   ${}{\left({\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\leq c\leq x_{n}^{2}\,$

   und aufgrund des strengen Wachstums des Quadrierens im positiven Teil ist

   ${}{\frac {c}{x_{n}}}\leq x_{n}\,.$

   Nach Aufgabe liegt das arithmetische Mittel stets zwischen den beiden Zahlen, also ist

   ${}{\frac {c}{x_{n}}}\leq x_{n+1}\leq x_{n}\,.$

3. Dies folgt aus (1) und (2).
4. Nach der Rechnung in Teil (1) ist

   ${}x_{n+1}-{\frac {c}{x_{n+1}}}={\frac {x_{n+1}^{2}-c}{x_{n+1}}}={\frac {1}{4x_{n+1}}}{\left(x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}\right)}^{2}\,.$

   Bei  ${}c\geq 1$  ist

   ${}{\frac {1}{4x_{n+1}}}\leq {\frac {1}{4c}}\leq {\frac {1}{4}}\,.$

Zur bewiesenen Aussage