Archimedisch angeordneter Körper/Folge/Nachbarabstand/Potenz von a/Ab Glied/Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass

${}\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\,$

für alle ${}n$ gilt. Für ${}m\geq n$ gilt

${}{\begin{aligned}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert &=\vert {x_{n+1}-x_{n}}\vert +\vert {x_{n+2}-x_{n+1}}\vert +\cdots +\vert {x_{m-1}-x_{m-2}}\vert +\vert {x_{m}-x_{m-1}}\vert \\&\leq a^{n}+a^{n+1}+\cdots +a^{m-2}+a^{m-1}\\&=a^{n}{\left(1+a+\cdots +a^{m-n-2}+a^{m-n-1}\right)}.\end{aligned}}$

Der rechte Faktor ist dabei (endliche geometrische Reihe) gleich ${}{\frac {1-a^{m-n}}{1-a}}$. Wegen ${}0\leq a<1$ ist der Nenner wohldefiniert und ${}a^{m-n}$ ist ${}\geq 0$, also kann man diesen Faktor nach oben durch ${}{\frac {1}{1-a}}$ abschätzen. Insgesamt haben wir also

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\,.$

Nach Aufgabe ist ${}a^{n}$ eine Nullfolge und dies gilt auch für ${}a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}$, da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein ${}\epsilon >0$ gegeben. Dann gibt es ein ${}n_{0}$ mit ${}a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon$ für ${}n\geq n_{0}$ und somit gilt für alle ${}m\geq n\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq a^{n}\cdot {\frac {1}{1-a}}\leq \epsilon \,.$

Zur gelösten Aufgabe