Archimedisch angeordneter Körper/R/Folge/Nachbarabstand/Potenz von a/Ab Glied/Cauchy-Folge/Aufgabe/Lösung

Die Eigenschaft, eine Cauchy-Folge zu sein, ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder der Folge abändert. Wir können also annehmen, dass

| x_{n + 1} - x_{n} | \leq a^{n}

für alle $n$ gilt. Für $m \geq n$ gilt

\begin{matrix} | x_{m} - x_{n} | & = | x_{n + 1} - x_{n} | + | x_{n + 2} - x_{n + 1} | + \dots + | x_{m - 1} - x_{m - 2} | + | x_{m} - x_{m - 1} | \\ \leq a^{n} + a^{n + 1} + \dots + a^{m - 2} + a^{m - 1} \\ = a^{n} (1 + a + \dots + a^{m - n - 2} + a^{m - n - 1}) . \end{matrix}

Der rechte Faktor ist dabei (endliche geometrische Reihe) gleich $\frac{1 - a^{m - n}}{1 - a}$ . Wegen $0 \leq a < 1$ ist der Nenner wohldefiniert und $a^{m - n}$ ist $\geq 0$ , also kann man diesen Faktor nach oben durch $\frac{1}{1 - a}$ abschätzen. Insgesamt haben wir also

| x_{m} - x_{n} | \leq a^{n} \cdot \frac{1}{1 - a} .

Nach Aufgabe ist $a^{n}$ eine Nullfolge und dies gilt auch für $a^{n} \cdot \frac{1}{1 - a}$ , da man ja mit einer festen Zahl multipliziert. Zum Nachweis, dass eine Cauchy-Folge vorliegt, sei ein $ϵ > 0$ gegeben. Dann gibt es ein $n_{0}$ mit $a^{n} \cdot \frac{1}{1 - a} \leq ϵ$ für $n \geq n_{0}$ und somit gilt für alle $m \geq n \geq n_{0}$ die Abschätzung

| x_{m} - x_{n} | \leq a^{n} \cdot \frac{1}{1 - a} \leq ϵ .

Zur gelösten Aufgabe