B-adische Stellenwertsysteme

Einleitung

Bei $b$ -adischen Stellenwertsystemen hat man eine endliche Menge Ziffern (Symbolen), die bei der Division durch $b$ die möglichen Reste angibt. Also z.B. im Dezimalsystem die Reste $0,1,...,9$ . Die Bündelungseinheiten im Stellenwertsystem sind Potenzen $b^{n}$ der Basis $b\in \mathbb {N}$ mit $b>1$ und $n\in \mathbb {Z}$ .

Stellenwert

Der Stellenwert besagt umgangssprachlich, dass der Wert einer Ziffer von der Position in der Ziffernfolge abhängt. Genauer gesagt:

Stellenwert = Ziffernwert $\cdot$ Wert der Bündelungseinheit

Stellenwertsysteme in Schule

Bereits in der Grundschule werden Stellenwertsystem eingeführt und die schriftlichen Rechenverfahren basiert auf der stellenweisen Rechenoperation im Stellenwertsystem unter Berücksichtigung von Überträgen.

Ganze Zahlen

Ganze Zahlen kann man als Polynome $P(b)=\sum _{k=0}^{n}z_{k}\cdot b^{k}$ auffassen, wobei die $z_{k}\in \{0,1,\ldots ,b-1\}$ die Ziffern darstellen und $b^{k}$ den Wert der Bündelungseinheit.

Dezimalsystem

Im Dezimalsystem kann man die Zahl 735 wie folgt darstellen:

7\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}

Binäres Zahlsystem

Wenn Zahlen in anderes Stellenwertsystem umrechnet erfolgt das durch eine Division mit Rest. So hat etwa die Zahl $35=35_{_{10}}$ im Dezimal im Binärsystem bzw. in der 2-adische Entwicklung die folgende Binärdarstellung:

35=1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=100011_{2}

Nachkommastellen

Das aus dem Dezimalsystem bekannte Vorgehen aus der Schule, die Stellenwerttafel von den ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ auf $\mathbb {Q}$ zu erweitern, lässt sich analog auf Nachkommastellen in $b$ -adischen Zahlsystemen übertragen.

Nachkommastellen im Dezimalsystem

Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen:

endliche Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. $1,59$
unendliche periodische Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. $0,{\overline {13}}={\tfrac {13}{99}}$ und
unendliche nicht-periodische Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. $\pi =3,141\ldots$ und

Nachkommastellen in b-adischen Zahlsystemen

Wenn man die Stellenwerttafel in $b$ -adischen Zahlsytemen nach rechts erweiten erhält man Bündelungseinheiten mit negativem Exponenten $b^{-n}$

$b^{-1}$ analog zu Zenteln ${\tfrac {1}{10}}=10^{-1}$
$b^{-2}$ analog zu Hundertsteln ${\tfrac {1}{100}}=10^{-2}$
$b^{-3}$ analog zu Tausendsteln ${\tfrac {1}{1000}}=10^{-3}$
...

Periodische - endliche b-adische Entwicklung

Ob in eine rationale Zahl ${\tfrac {a}{b}}\in \mathbb {Q}$ im $b$ -adischen Zahlsystem eine periodische oder endliche Zifferndarstellung besitzt, hängt von der gewählten Basis $b$ ab. Die Zahl $x={\tfrac {1}{3}}$ hat z.B. im Dezimalsystem eine periodische Zahldarstellung und 3er-System eine endliche Anzahl von Nachkommastellen, wie das folgende Beispiel zeigt:

{\tfrac {1}{3}}=0,1_{_{3}}=0,{\overline {3}}_{_{10}}

Endliche Anzahl von Nachkommastellen

Zahlen einer endliche Anzahl von Nachkommastellen kann man als Laurent-Polynom $P(b)=\sum _{k=-m}^{n}z_{k}\cdot b^{k}$ mit $m,n\in \mathbb {N} _{0}$ auffassen, wobei $z_{k}\in \{0,1,\ldots ,b-1\}$ wieder die Ziffern darstellen und $b^{k}$ den Wert der Bündelungseinheit.

Hauptteil - Nebenteil

Analog zur Laurent-Reihe bezeichnet man

(Nebenteil - ganzzahlige Teil) die Summe der Summanden mit nicht-negativem Exponenten als Nebenteil $P_{k\geq 0}(b)=\sum _{k=0}^{n}z_{k}\cdot b^{k}$ und
(Hauptteil - Nachkommastellen) die Summe der Summanden mit negativem Exponenten als Hauptteil $P_{k<0}(b)=\sum _{k=-m}^{-1}z_{k}\cdot b^{k}$

Konvergenz - Laurent-Reihe

Eine Laurent-Reihe konvergiert, wenn der Haupteil- und Nebenteil beide konvergieren. Beim Nebenteil folgt aus der Konvergenz, dass es eine Indexschranke $n\in \mathbb {N}$ geben muss, ab der alle Ziffern $z_{k}=0$ sein müssen, da ansonsten mit $z_{k_{i}}\geq 1$ für abzählbar viele $i\in \mathbb {N}$ der Nebenteil divergiert. Ansonsten gilt nämlich:

P_{k\geq 0}(b)=\sum _{k=0}^{+\infty }z_{k}\cdot b^{k}\geq \sum _{i=0}^{+\infty }\underbrace {z_{k_{i}}\cdot b^{k_{i}}} _{\geq 1}=+\infty

Aufgaben - Rechnen in Stellenwertsystemen

Das Rechnen in $b$ -Stellenwertsystemen kann mit unterschiedlichen Zielen haben:

(Fachdidaktik Primarstufe) Durch das Rechnen in anderen Stellenwertsystemen Einsicht in Probleme von Schüler:innen mit dem Dezimalsystem zu gewinnen.
(Fachdidaktik Sekundarstufe) Über die Analyse der Rechenoperation in anderen $b$ -adischen Systemen die gemeinsamen Prinzipien in allen Stellenwertsystemen zu identifizieren.
(Algebra und Zahlentheorie) $b$ -adische Stellenwertsysteme als Einstieg für weiterführende Inhalte in der Algebra und Zahlentheorie.

Aufgabe 1 - Zählen im 7er-System

Notieren Sie die Zählfolge Sie im 7er-System bis $30_{_{7}}$ !

1_{_{7}},2_{_{7}},3_{_{7}},4_{_{7}},5_{_{7}},6_{_{7}},10_{_{7}},11_{_{7}},...

Benennen Sie das grundlegende Prinzip, das den Notation der Zählfolge bestimmen!

Aufgabe 2 - Peano-Axiome

Welche Bedeutung haben mathematisch die Peano-Axiome für die Zählfolge, wenn man bedenkt, dass die Benennung von Zahlen nicht notwendigerweise durch reine Bündelungssysteme erfolgen muss (siehe römisches Zahlsystem mit alternierender 5er-2er-Bündelung)?

Aufgabe 3 - Verknüfungstafeln

Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für die Addition und Multiplikation im 7er-System und berechnen Sie dann die folgende Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im 7er-System ohne Umrechnung in das Dezimalsystem.

Aufgaben 3.1 - Addition

$14563_{_{7}}+3000_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
$64563_{_{7}}+2104_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
$14563_{_{7}}+3635_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
$145,\!63_{_{7}}+3,\!635_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$

Aufgaben 3.2 - Subtraktion

$14563_{_{7}}-3635_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
$1456,3_{_{7}}-36,35_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
${\frac {3_{_{7}}}{4_{_{7}}}}-{\frac {1_{_{7}}}{4_{_{7}}}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
${\frac {3_{_{7}}}{4_{_{7}}}}-{\frac {1_{_{7}}}{5_{_{7}}}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$

Aufgaben 3.3 - Multiplikation

$563_{_{7}}\cdot 35_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
$563_{_{7}}\cdot 100_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
${\frac {3_{_{7}}}{4_{_{7}}}}\cdot {\frac {1_{_{7}}}{10_{_{7}}}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
${\frac {3_{_{7}}}{4_{_{7}}}}\cdot {\frac {1_{_{7}}}{5_{_{7}}}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$

Aufgaben 3.4 - Division

$10_{_{7}}:6_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
$563_{_{7}}:100_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
$563_{_{7}}:0,\!001_{_{7}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$
${\frac {3_{_{5}}}{4_{_{5}}}}=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\,\,}_{_{7}}$

Brüche und Stellenwertsysteme

Brüche sind alternative Zahldarstellung zu der Darstellung im $b$ -adischen Stellenwertsystem. In den beiden folgenden Abschnitten werden die Umrechnungen:

Bruch in $b$ -adischen Stellenwertsystem und
$b$ -adischen Stellenwertsystem in Bruch

bei endlicher Anzahl von Nachkommastellen oder mit periodischer Darstellung behandelt.

Bruch in b-adische Darstellung

Für die Umrechnung von Brüchen ${\tfrac {a_{1}}{a_{2}}}$ in das $b$ -adische Stellenwertsystem führt man die Division $a_{1}:a_{2}$ durch, bis entweder der Rest 0 auftritt oder eine Periode bei der Division durch $a_{2}$ auftritt. Ein Periode muss auftreten, da bei der Division durch $a_{2}$ nur endlich viele Reste $0,1,\ldots ,(a_{2}-1)$ auftreten können. Damit kann die Periodenlänge maximal $(a_{2}-1)$ Stellen lang sein. Im Dezimalsystem hat ${\tfrac {1}{7}}$ die Periodenlänge 6.

b-adische Darstellung in Bruch

Man unterscheidet nun eine

endliche Anzahl von Nachkommastellen,
periodische $b$ -adische Entwicklung.

endliche Anzahl von Nachkommastellen

Bei endlicher Anzahl von Nachkommastellen erweitert man die $b$ -adische Zahldarstellung entsprechend der Anzahl der Nachkommastellen mit der entsprechenden Bündelungseinheit:

12,\!346_{_{7}}={\frac {12346_{_{7}}}{1000_{_{7}}}}

periodische Nachkommastellen

Bei periodischen Nachkommastellen kann man das algebraisch über $b$ -adische Zahldarstellung berechnet. Im Kern verwendet man das Prinzip der geometrischen Reihe, um entsprechend Zähler und Nenner des zugehörigen Bruchs zu bestimmen:

{\begin{array}{crcl}&1000_{_{7}}\cdot x&=&346,{\overline {\!346}}_{_{7}}\\-&x&=&0,{\overline {\!346}}_{_{7}}\\\hline &666_{_{7}}\cdot x&=&346_{_{7}}\end{array}}

Damit erhält $x={\tfrac {346_{_{7}}}{666_{_{7}}}}=0,{\overline {\!346}}_{_{7}}$ als Bruchdarstellung im 7er-System.

periodische Nachkommastellen 2

Allgemeiner kann man mit den beiden obigen Methoden die Nachkommastellen wie folgt zunächst als Summe von Brüchen und nach Addition dann als einen Bruch darstellen:

{\begin{array}{rcl}123,\!4\,{\overline {246}}_{_{7}}&=&123,\!4+0,\!0{\overline {246}}_{_{7}}\\&=&{\frac {1234_{_{7}}}{10_{_{7}}}}+{\frac {246_{_{7}}}{6660_{_{7}}}}={\frac {1234_{_{7}}\cdot 666_{_{7}}+246_{_{7}}}{6660_{_{7}}}}\end{array}}

Teilbarkeitsregel

Aus der Schule sich i.d.R. Teilbarkeitsregeln^[1] bekannt, wie z.B. die Quersummenregel beim Test auf Teilbarkeit durch 9 oder 3 oder Endstellenregel für die Teilbarkeit durch 2er-Potenzen. Dies kann man auf Teilbarkeitsregeln für beliebige Divisoren als gewichtete Quersumme beschreiben. Dabei kann sich die gewichtete Quersumme (wie bei Dezimalsystemen) nur auf eine endliche Anzahl von Stellen beziehen.

Definition - Gewichtete Quersumme

Hat $x\in \mathbb {N}$ die folgende Darstellung im $b$ -adischen System

x=\sum _{i=0}^{n}z_{i}\cdot b^{i}

und ist $(q_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} _{0}}$ eine Folge von ganzen Zahlen, dass ist die folgenden Summe $Q(x)$ die gewichtete Quersumme von $x$

Q(x):=\sum _{i=0}^{n}q_{i}\cdot z_{i}

Teilbarkeitsregeln

Für die Teilbarkeitsregeln bzgl. $a\in \mathbb {N}$ wählt man für $q_{i}$ ein betragsmäßig möglichst kleine Zahl mit $q_{i}=b^{i}\mathrm {mod} \,\,a$ .

Beispiel - Dezimalsystem

Bei der Division durch 9 gilt $1=10^{i}\,\,\mathrm {mod} \,\,9$ und man erhält die klassische Quersummenregel mit $(q_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}:=(1)_{i\in \mathbb {N} _{0}}$ . Bei der Division durch 11 erhält man $(-1)^{i}=10^{i}\,\,\mathrm {mod} \,\,11$ und man erhält eine alternierende Quersumme mit $(q_{i})_{i\in \mathbb {N} _{0}}:={\big (}(-1)^{i}{\big )}_{i\in \mathbb {N} _{0}}$

Aufgaben - Teilbarkeitsregeln

Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im Dezimalsystem an!
Geben Sie die gewichtete Quersummenregel für die Division durch 7 im 8-adischen Zahlsystem an!
Warum hängt die Teilbarkeitsregel bzgl. $a=2^{i}\cdot 5^{j}$ von Zahlen im Dezimalsystem nur von einer bestimmten Anzahl von Endstellen in der Dezimaldarstellung ab?

Laurent-Reihen

Die Betrachtung von b-adischen Zahlensystemen kann man als Spezialfall von Laurentreihen in der Funktionentheorie betrachten.

b-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen

Dabei ist die b-adischen Zahldarstellung kann durch eine spezielle Wahl des Entwicklungspunktes und eine einschränkten Menge, aus der die Koeffizienten der Laurent-Reihe gewählt werden können. Laurentreihen betrachten. Zunächst betracht man für allgemein eine Laurent-Reihe beliebigen Koeffizienten in $\mathbb {C}$ mit dem Entwicklungspunkt $x_{o}\in \mathbb {C}$ und der folgenden Darstellung:

f(x)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }a_{i}\cdot (x-x_{0})^{i}

Für $b$ -adische Zahldarstellung setzt man für $x$ die Bündelungseinheit ein (z.B. $x:=b=10$ für das Dezimalsystem und $x:=b=7$ für das 7er-System).

Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung

Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die $b$ -adische Zahldarstellung ein Spezialfall der Laurent-Reihe, denn als Entwicklungspunkt $x_{0}$ der Laurentdarstellung wählt man $x_{0}=0$ .

Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten

Analog zur gewöhnlichen $p$ -adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:

{\begin{array}{rcl}30{,}4_{5}&=&\ldots +0\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{1}+0\cdot 5^{0}\underbrace {\,\,\,+\,\,\,} _{,}4\cdot 5^{-1}+0\cdot 5^{-2}\ldots \\&=&15+{\frac {4}{5}}=15+{\frac {8}{10}}=15,8_{10}\\\end{array}}

Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung

Da der ganzzahligen Anteil (d.h. $i\geq 0$ ) endlich ist und $a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}$ liegt, müssen ab einer Indexschranke $n\in \mathbb {N} _{0}$ alle $a_{i}=0$ sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über $f$ keinen endlichen Wert.

f(x)=\sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}\cdot x^{i}

Notation - p-adischer Zahlen

Mit der Laurententwicklung mit $x_{0}=0$ und den Ziffern $a_{i}$ erhält man bzgl. $x=p$ und

f(x)=\sum _{i=-\infty }^{n}a_{i}\cdot x^{i}

die folgenden Zifferndarstellung

a_{n}\ldots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots _{_{p}}=f(p)

Beispiel - periodische Zahlen

Zum Beispiel ist $0{,}{\overline {13}}_{_{5}}=0{,}\!{\overline {13}}_{_{5}}=0{,}131313\dots _{_{5}}$ die 5-adische Darstellung von ${\tfrac {1}{3}}$ zur Basis $5$ . In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die $a_{i}=0$ für alle $i<0$ gilt.

Quellennachweis

↑ Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2

Siehe auch

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[komma-1] Beutelspacher, A. (2018). Stellenwertsysteme und Teilbarkeitsregeln. In: Zahlen, Formeln, Gleichungen. Springer Spektrum, Wiesbaden. https://doi.org/10.1007/978-3-658-16106-4_2

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