Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/latex

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\setcounter{section}{ 38 }





\inputfaktbeweisnichtvorgefuehrt
{Kurve im R^n/Stetig differenzierbar/Rektifizierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $f$ \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} und für die \definitionsverweis {Kurvenlänge}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(f) }
{ =} {\int_{ a }^{ b } \Vert {f'(t)} \Vert \, d t }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Da die \definitionsverweis {Norm}{}{} \definitionsverweis {stetig}{}{} ist, existiert nach Fakt das rechte Integral, und zwar ist es gleich dem \definitionsverweis {Infimum}{}{} über alle \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{} zu \definitionsverweis {oberen Treppenfunktionen}{}{} der Funktion
\mathl{t \mapsto \Vert {f'(t)} \Vert}{.} Diese Treppenintegrale werden zu einer Unterteilung
\mathl{a=t_0 \leq \ldots \leq t_k=b}{} durch
\mathbed {\sum_{i=1}^k (t_i-t_{i-1} ) w_i} {mit}
{w_i = {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t_{i-1} \leq t \leq t_i ) }} {}
{} {} {} {} gegeben. Andererseits steht nach der Definition der \definitionsverweis {Kurvenlänge}{}{} links das Supremum über die zu einer solchen Unterteilung gehörigen Summen
\mathdisp {\sum_{i=1}^k \Vert {f(t_{i})- f(t_{i-1})} \Vert} { . }
Aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt
\mavergleichskettedisplang
{\vergleichskettelang
{ \Vert {f(t_{i})- f(t_{i-1})} \Vert }
{ \leq} { (t_i- t_{i-1} ) \cdot {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t_{i-1} \leq t \leq t_i ) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Durch Aufsummieren ergibt sich daher die Abschätzung
\mavergleichskettedisplang
{\vergleichskettelang
{ \sum_{i = 1}^k \Vert {f(t_{i})- f(t_{i-1})} \Vert }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^k (t_i- t_{i-1} ) \cdot {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t_{i-1} \leq t \leq t_i ) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Hierbei müssen wir links das Supremum und rechts das Infimum über alle Unterteilungen nehmen.  Nehmen wir an, dass das Supremum $u$ der linken Seite größer als das Infimum $v$ der rechten Seite ist. Dann gibt es eine Unterteilung derart, dass die Längensumme links zu dieser Unterteilung mindestens gleich
\mathl{u - { \frac{ 1 }{ 3 } } (u-v)}{,} und eine Unterteilung derart, dass das Treppenintegral rechts höchstens gleich
\mathl{v + { \frac{ 1 }{ 3 } } (u-v)}{} ist. Wir können zur gemeinsamen Verfeinerung übergehen und annehmen, dass es sich um die gleiche Unterteilung handelt, und erhalten einen Widerspruch. Das Supremum der linken Seite ist also durch das Infimum der rechten Seite beschränkt. D.h. die Kurve ist rektifizierbar und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(f) }
{ \leq} {\int_{ a }^{ b } \Vert {f'(t)} \Vert \, d t }
{ \leq} { (b-a) \cdot {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t \in [a,b] ) } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Beziehung gilt auch für jedes beliebige Teilintervall
\mathl{[s,s'] \subseteq [a,b]}{.} Es sei
\mathl{L_a^s(f)}{} die Länge der auf
\mathl{[a,s]}{} definierten Kurve. Es genügt dann zu zeigen, dass diese Funktion \zusatzklammer {ableitbar und} {} {} eine Stammfunktion zu
\mathl{t \mapsto \Vert {f'(t)} \Vert}{} ist. Für den zugehörigen \definitionsverweis {Differenzenquotienten}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{L_a^{s'}(f) - L_a^s(f)}{s'-s} }
{ = }{\frac{ L_s^{s'}(f)}{s'-s} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} in einem Punkt
\mathl{s \in [a,b]}{} gelten die Abschätzungen \zusatzklammer {\mathlk{s' >s}{}} {} {}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \frac{ \Vert { f(s') -f(s)} \Vert }{s'-s} }
{ \leq} { \frac{ L_s^{s'}(f)}{s'-s} }
{ \leq} { \frac{(s'-s) \cdot {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t \in [s,s'] ) } }{s'-s} }
{ =} { {\operatorname{sup} \, ( \Vert {f'(t)} \Vert ,t \in [s,s'] ) } }
{ } {}
} {} {}{.} Für
\mathl{s' \rightarrow s}{} konvergieren die beiden äußeren Seiten gegen
\mathl{\Vert {f'(s)} \Vert}{,} so dass auch der Differenzenquotient dagegen konvergieren muss.

}


Die Rektifizierbarkeit ist schon in einer Variablen ein interessanter Begriff. Es lässt sich sogar die Rektifizierbarkeit darauf zurückführen. Dies bedeutet aber nicht, dass man die Berechnung der Kurvenlänge auf die Berechnung der Kurvenlängen der einzelnen Komponenten zurückführen könnte.


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