Benutzer:Shoetten

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Mathematik für Anwender II[Bearbeiten]

Beispiel Klausuraufgaben[Bearbeiten]

Lineares Anfangswertproblem[Bearbeiten]

Löse das lineare Anfangswertproblem


Lösung[Bearbeiten]

Aus der homogenen DGL in der zweiten Zeile folgt

mit aus .

Dann ergibt sich aus der dritten Zeile die inhomogene DGL

Der homogene Teil lässt sich wieder in einem Schritt mit bestimmen. Nun folgt:

Also

mit der Anfangsbedingung .

Abschließend kommt die erste Zeile

Homogener Teil . Damit wird wieder c(t) bestimmt

und mit

berechnet. Für die Anfangsbedingung gilt .

Als Lösung ergibt sich aus allen drei Zeilen


Rotationskörper[Bearbeiten]

Berechne das Volumen des Rotationskörpers , der entsteht, wenn man den Bereich zwischen den beiden Funktionen

mit den Grenzen 0 und 2 um die x-Achse dreht.

Lösung[Bearbeiten]

Mit

ist der Rotationskörper der Exponentialfunktion bestimmt. Aus der gleichen Formel ergibt sich

Daraus folgt


Taylor Polynom[Bearbeiten]

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad für die Funktion


im Punkt .

Lösung[Bearbeiten]

Für die 0.Ordnung gilt

Nun alle partiellen Ableitungen im Punkt P für bestimmen:

Somit ergibt sich für das Taylor-Polynom der 1. Ordnung

Weiter mit der 2. Ordnung :

Aus

und den vorherigen Berechnungen folgt dann die Lösung für die gesuchte quadratische Approximation:


Charakteristisches Polynom[Bearbeiten]

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von der linearen Abbildung

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben wird.

Lösung[Bearbeiten]

Das charakteristische Polynom wird mit

bestimmt.

Um die Eigenwerte über die Nullstellen des charak. Polynoms zu berechnen wird nach der ersten Spalte entwickelt und erhält so

Die erste Nullstelle lässt sich direkt ablesen. Nun den rechten Faktor ausmultiplizieren:

Um die weiteren Nullstellen zu berechnen kann die p,q-Formel mit und verwendet werden. So ergibt sich

Alle drei Eigenwerte sind also









Aufgabe 34.12 / Aufgabe 34.16[Bearbeiten]

Karussell/Doppeldrehung/Radius 10 und 3/Umlaufzeit 8 und 2/Gleichläufig/Animation/Aufgabe
Abgabegruppe F

Gleichläufige Kreisbewegungen
Großer Kreis: r=10 a=8; Kleiner Kreis: r=3 a=2






































irgendwas stimmt da nicht, da sich in der Aufgabe der kleine Kreis viermal dreht, wenn sich der große einmal dreht. In der Animation dreht er sich aber nur gut zweimal.--Bocardodarapti (Diskussion) 16:28, 2. Mai 2012 (CEST)
Ist nun korrekt. Ich habe den kleinen Kreis irrtümlicherweise alle 3 Sekunden um sich selbst drehen lassen. --Shoetten (Diskussion) 12:36, 4. Mai 2012 (CEST)

So ist es gut--Bocardodarapti (Diskussion) 17:59, 8. Mai 2012 (CEST)