Beringter Raum/Modulgarben/Konstruktionen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man die Zuordnung

$U\longmapsto \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}{|}_{U}\rightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}$

die Homomorphismengarbe zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$. Sie wird mit ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ bezeichnet.

Es ist also

${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}{\left(U\right)}=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\,.$

Lemma

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$.

Dann ist die Homomorphismengarbe ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ eine ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulgarbe auf ${}X$.

Beweis

Es liegt die Beziehung

${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}{\left(U\right)}=\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\subseteq \operatorname {Mor} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}\,$

vor, und rechts steht nach Fakt eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen (siehe Aufgabe), sodass links eine Untergarbe steht. Die ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Struktur auf ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.

$\Box$

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei ${}{\mathcal {M}}$ eine Modulgarbe auf ${}X$. Dann nennt man

${}{\mathcal {M}}^{*}={{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {O}}_{X}\right)}\,$

mit der natürlichen ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modulstruktur den dualen Modul zu ${}{\mathcal {M}}$.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ Modulgarben auf ${}X$. Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe

$U\longmapsto \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}$

das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit ${}{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}$ bezeichnet.

Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung

$\Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\right)}\otimes _{\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}\Gamma {\left(U,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}\right)},$

die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe Aufgabe.