Beringter Raum/Modulgarben/Konstruktionen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf . Dann nennt man die Zuordnung

die Homomorphismengarbe zu und . Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein beringter Raum und seien und Modulgarben auf .

Dann ist die Homomorphismengarbe eine -Modulgarbe auf .

Beweis  

Es liegt die Beziehung

vor, und rechts steht nach Fakt eine Garbe. Die Homomorphieeigenschaft, also die Verträglichkeit mit der Addition und der Skalarmultiplikation, kann man dabei lokal testen, so dass links eine Untergarbe steht. Die -Struktur auf wird durch die Addition und Skalarmultiplikation in der zweiten Komponente gegeben, und dies ist mit den Einschränkungen verträglich.



Definition  

Es sei ein beringter Raum und sei eine Modulgarbe auf . Dann nennt man

mit der natürlichen -Modulstruktur den dualen Modul zu .


Definition  

Es sei ein beringter Raum und seien Modulgarben auf . Dann nennt man die Vergarbung der Prägarbe

das Tensorprodukt der Moduln. Sie wird mit bezeichnet.

Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung

die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe Aufgabe.