Bilinearform/Gradient/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum, der mit einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ versehen sei. Dann gelten folgende Aussagen

1. Für jeden Vektor ${}u\in V$ sind die Zuordnungen

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle u,v\right\rangle ,$

   und

   $V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,u\right\rangle ,$

   ${}K$-linear.

2. Die Zuordnung

   $V\longrightarrow {V}^{*},\,u\longmapsto \left\langle u,-\right\rangle ,$

   ist ${}K$-linear.

3. Wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ nicht ausgeartet ist, so ist die Zuordnung in (2) injektiv. Ist ${}V$ zusätzlich endlichdimensional, so ist diese Zuordnung bijektiv.

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Bilinearität.
(2). Seien ${}u_{1},u_{2}\in V$ und ${}a_{1},a_{2}\in K$. Dann ist für jeden Vektor ${}v\in V$

${}\left\langle a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2},v\right\rangle =a_{1}\left\langle u_{1},v\right\rangle +a_{2}\left\langle u_{2},v\right\rangle \,,$

und dies bedeutet gerade die Linearität der Zuordnung.
(3). Da die Zuordnung nach (2) linear ist, müssen wir zeigen, dass der Kern davon trivial ist. Es sei also ${}u\in V$ so, dass ${}\left\langle u,-\right\rangle$ die Nullabbildung ist. D.h. ${}\left\langle u,v\right\rangle =0$ für alle ${}v\in V$. Dann muss aber nach der Definition von nicht ausgeartet ${}u=0$ sein.
Wenn ${}V$ endliche Dimension hat, so liegt eine injektive lineare Abbildung zwischen Vektorräumen der gleichen Dimension vor, und eine solche ist nach Fakt bijektiv.

$\Box$

Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine fixierte nichtausgeartete Bilinearform gibt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben werden kann. Genauer: es gibt dann einen Vektor ${}y\in V$ mit

${}L(v)=\left\langle y,v\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ und einen Vektor ${}z\in V$ mit

${}L(v)=\left\langle v,z\right\rangle \,.$

In dieser Situation heißt ${}y$ der Linksgradient zu ${}L$ bezüglich der Bilinearform und ${}z$ der Rechtsgradient. Bei einem Skalarprodukt und generell bei einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform (siehe weiter unten) fallen die beiden Begriffe zusammen, man spricht von dem Gradienten. Für euklidische Vektorräume formulieren wir diese Beziehung noch einmal explizit.

Korollar

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor ${}w\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle w,v\right\rangle \,.$

Wenn ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und ${}f(u_{i})=a_{i}$ ist, so ist dieser Vektor gleich ${}w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Fakt  (3). Der Zusatz ist klar wegen

${}\left\langle w,u_{i}\right\rangle =\left\langle \sum _{j=1}^{n}a_{j}u_{j},u_{i}\right\rangle =a_{i}=f(u_{i})\,.$

$\Box$