Bilinearform/Symmetrisch/Orthogonal/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine Bilinearform auf . Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

für alle gilt.


Definition  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn

ist.


Definition  

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Eine Basis , von heißt Orthogonalbasis, wenn

für alle

ist.

Für eine symmetrische Bilinearform ist es durchaus möglich, dass, anders als bei Skalarprodukten, ein von verschiedener Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Es kann auch, im ausgearteten Fall, von verschiedene Vektoren geben, die orthogonal zu allen Vektoren sind. Wie im Fall eines Skalarproduktes gibt es Orthogonalbasen.



Satz

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf .

Dann besitzt eine Orthogonalbasis.

Beweis

Siehe Aufgabe.