Bilinearform/Symmetrisch/Orthogonal/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zwei Vektoren ${}v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Eine Basis ${}v_{i},\,i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,$

für alle

${}i\neq j\,$

ist.

Für eine symmetrische Bilinearform ist es durchaus möglich, dass, anders als bei Skalarprodukten, ein von ${}0$ verschiedener Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Es kann auch, im ausgearteten Fall, von ${}0$ verschiedene Vektoren geben, die orthogonal zu allen Vektoren sind. Wie im Fall eines Skalarproduktes gibt es Orthogonalbasen.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$.

Dann besitzt ${}V$ eine Orthogonalbasis.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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