Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel

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Wir betrachten die binomiale Gleichung . Die Nullstellenmenge besteht aus sämtlichen Punkten, deren Produkt der Koordinaten gleich ist. Insbesondere darf kein Eintrag gleich sein. Die Jacobimatrix ist

und diese besitzt in jedem Punkt der Nullstellenmenge den Rang , es liegt also eine glatte Varietät vor. Der Satz über implizite Abbildungen liefert lokal die Existenz eines Diffeomorphismus zu (bei oder ), doch gibt es hier unmittelbar die bijektive algebraische (rationale) Abbildung

Dies kann man so verstehen, dass der Graph zur rationalen Funktion auf ist. Es liegt hier also ein Isomorphismus zwischen der Zariski-offenen Menge

und der Zariski-abgeschlossenen Menge vor. Die Menge nennt man auch den -dimensionalen Torus.

Rectangular hyperbola.svg

Bei ist das der Isomorphismus zwischen der punktierten Geraden und der Hyperbel.