Binomialkomplex/Aufsteigend/Homotopie/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei das kleinste Element von . Wir definieren einen Komplex-Homomorphismus

durch

Wir behaupten

Sei dazu gegeben. Bei ist

und

und bei ist

und

Da das Anfangsglied ist, unterscheiden sich und um das Vorzeichen.

Somit liegt eine Homotopie zwischen der Identität und der Nullabbildung des Komplexes auf sich selbst vor. Nach Fakt gilt daher auf der Ebene der Homologieabbildungen

und daher sind die Homologien trivial.

Zur bewiesenen Aussage