Blockmatrix/Diagonalisierbar/1/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom der Blockmatrix $M$ mit den Blöcken $A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix})$ und $B = (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix})$ ist nach Fakt gleich

\begin{matrix} χ_{M} & = χ_{A} \cdot χ_{B} \\ = ((X - 1) (X - 4) - 6) ((X - 5) (X - 8) - 42) \\ = (X^{2} - 5 X - 2) (X^{2} - 13 X - 2) \\ = X^{4} - 18 X^{3} + 61 X^{2} + 36 X + 4. \end{matrix}

b) Die Eigenwerte von $M$ , also nach Fakt die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, bestimmen wir, indem wir die p-q-Formel auf die beiden quadratischen Faktoren anwenden. Dies ergibt die Eigenwerte

x_{1} = \frac{\sqrt{25 + 8} + 5}{2} = \frac{\sqrt{33} + 5}{2},

x_{2} = \frac{- \sqrt{33} + 5}{2},

x_{3} = \frac{\sqrt{169 + 8} + 13}{2} = \frac{\sqrt{177} + 13}{2},

x_{4} = \frac{- \sqrt{177} + 13}{2} .

c) Die Eigenwerte verschieden sind, sind die zugehörigen Eigenräume eindimensional. Wir müssen jeweils einen Eigenvektor ausrechnen, was wir für die Blockmatrizen tun. Für

\frac{\sqrt{33} + 5}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{33} + 5}{2} - 1 & - 2 \\ - 3 & \frac{\sqrt{33} + 5}{2} - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{33} + 3}{2} & - 2 \\ - 3 & \frac{\sqrt{33} - 3}{2} \end{matrix})

ist

v_{1} = (\begin{matrix} 2 \\ \frac{\sqrt{33} + 3}{2} \end{matrix})

ein nichttriviales Element des Kerns.

Für

\frac{- \sqrt{33} + 5}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{- \sqrt{33} + 5}{2} - 1 & - 2 \\ - 3 & \frac{- \sqrt{33} + 5}{2} - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{- \sqrt{33} + 3}{2} & - 2 \\ - 3 & \frac{- \sqrt{33} - 3}{2} \end{matrix})

ist

v_{2} = (\begin{matrix} 2 \\ \frac{- \sqrt{33} + 3}{2} \end{matrix})

ein Element des Kerns.

Für

\frac{\sqrt{177} + 13}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{177} + 13}{2} - 5 & - 6 \\ - 7 & \frac{\sqrt{177} + 13}{2} - 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{\sqrt{177} + 3}{2} & - 6 \\ - 7 & \frac{\sqrt{177} - 3}{2} \end{matrix})

ist

v_{3} = (\begin{matrix} 6 \\ \frac{\sqrt{177} + 3}{2} \end{matrix})

ein Element des Kerns.

Für

\frac{- \sqrt{177} + 13}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{- \sqrt{177} + 13}{2} - 5 & - 6 \\ - 7 & \frac{- \sqrt{177} + 13}{2} - 8 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{- \sqrt{177} + 3}{2} & - 6 \\ - 7 & \frac{- \sqrt{177} - 3}{2} \end{matrix})

ist

v_{4} = (\begin{matrix} 6 \\ \frac{- \sqrt{177} + 3}{2} \end{matrix})

ein Element des Kerns.

Die Eigenräume zu dn Eigenwerten sind somit

ℝ (\begin{matrix} 2 \\ \frac{\sqrt{33} + 3}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), ℝ (\begin{matrix} 2 \\ \frac{- \sqrt{33} + 3}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), ℝ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \\ \frac{\sqrt{177} + 3}{2} \end{matrix}), ℝ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \\ \frac{- \sqrt{177} + 3}{2} \end{matrix}) .

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