Blockmatrix/Diagonalisierbar/1/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom der Blockmatrix ${}M$ mit den Blöcken  ${}A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$  und  ${}B={\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}$  ist nach Fakt gleich

${}{\begin{aligned}\chi _{M}&=\chi _{A}\cdot \chi _{B}\\&={\left((X-1)(X-4)-6\right)}{\left((X-5)(X-8)-42\right)}\\&={\left(X^{2}-5X-2\right)}{\left(X^{2}-13X-2\right)}\\&=X^{4}-18X^{3}+61X^{2}+36X+4.\end{aligned}}$

b) Die Eigenwerte von ${}M$, also nach Fakt die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, bestimmen wir, indem wir die p-q-Formel auf die beiden quadratischen Faktoren anwenden. Dies ergibt die Eigenwerte

${}x_{1}={\frac {{\sqrt {25+8}}+5}{2}}={\frac {{\sqrt {33}}+5}{2}}\,,$

${}x_{2}={\frac {-{\sqrt {33}}+5}{2}}\,,$

${}x_{3}={\frac {{\sqrt {169+8}}+13}{2}}={\frac {{\sqrt {177}}+13}{2}}\,,$

${}x_{4}={\frac {-{\sqrt {177}}+13}{2}}\,.$

c) Die Eigenwerte verschieden sind, sind die zugehörigen Eigenräume eindimensional. Wir müssen jeweils einen Eigenvektor ausrechnen, was wir für die Blockmatrizen tun. Für

${}{\frac {{\sqrt {33}}+5}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {33}}+5}{2}}-1&-2\\-3&{\frac {{\sqrt {33}}+5}{2}}-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {33}}+3}{2}}&-2\\-3&{\frac {{\sqrt {33}}-3}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ist

${}v_{1}={\begin{pmatrix}2\\{\frac {{\sqrt {33}}+3}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ein nichttriviales Element des Kerns.

Für

${}{\frac {-{\sqrt {33}}+5}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {33}}+5}{2}}-1&-2\\-3&{\frac {-{\sqrt {33}}+5}{2}}-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {33}}+3}{2}}&-2\\-3&{\frac {-{\sqrt {33}}-3}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ist

${}v_{2}={\begin{pmatrix}2\\{\frac {-{\sqrt {33}}+3}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ein Element des Kerns.

Für

${}{\frac {{\sqrt {177}}+13}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {177}}+13}{2}}-5&-6\\-7&{\frac {{\sqrt {177}}+13}{2}}-8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {{\sqrt {177}}+3}{2}}&-6\\-7&{\frac {{\sqrt {177}}-3}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ist

${}v_{3}={\begin{pmatrix}6\\{\frac {{\sqrt {177}}+3}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ein Element des Kerns.

Für

${}{\frac {-{\sqrt {177}}+13}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {177}}+13}{2}}-5&-6\\-7&{\frac {-{\sqrt {177}}+13}{2}}-8\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-{\sqrt {177}}+3}{2}}&-6\\-7&{\frac {-{\sqrt {177}}-3}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ist

${}v_{4}={\begin{pmatrix}6\\{\frac {-{\sqrt {177}}+3}{2}}\end{pmatrix}}\,$

ein Element des Kerns.

Die Eigenräume zu dn Eigenwerten sind somit

$\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\{\frac {{\sqrt {33}}+3}{2}}\\0\\0\end{pmatrix}},\,\mathbb {R} {\begin{pmatrix}2\\{\frac {-{\sqrt {33}}+3}{2}}\\0\\0\end{pmatrix}},\,\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\6\\{\frac {{\sqrt {177}}+3}{2}}\end{pmatrix}},\,\mathbb {R} {\begin{pmatrix}0\\0\\6\\{\frac {-{\sqrt {177}}+3}{2}}\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe