Integralsatz von Cauchy

Einleitung

Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Es gibt ihn in verschiedenen Versionen, von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf konvexen Gebieten und eine relativ allgemeine für nullhomologe Zyklen vorstellen wollen.

Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog

Bekannt ist, dass das Integral über $f(z)={\frac {1}{z}}$ bei der Integration über den geschlossenen Weg $\gamma (t):=r\cdot e^{it}$ über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert $2\pi i$ liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet $G$ konvex ist. Dies ist für $f(z)={\frac {1}{z}}$ nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von $f$ gehört.

Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein konvexes Gebiet, $\gamma$ ein in $G$ geschlossener rektifizierbarer Weg. Dann ist für jede holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C}$

\int _{\gamma }f(z)\,dz=0

Beweis

Der Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete verwendet im Wesentlichen das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes, in dem eine holomorphe Funktion zumindest noch stetig ist.

Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen

Auf beliebigen offenen Mengen $U$ muss man bei den Zyklen darauf achten, dass keine Singularitäten/Polstellen im Komplement des Definitionsbereiches $U$ umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion $f(z)={\frac {1}{z}}$ und $\gamma (t):=e^{it}$ auf einem Gebiet $G=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ . Auch wenn $f$ holomorph auf $G$ ist das Integral nicht 0, sondern das Integral liefert $2\pi i$ . Dabei ist allerdings auch der Zyklus bzw. Integrationsweg $\gamma$ nicht nullhomolog, da $\gamma$ die $0\in G^{c}=\{0\}$ umrundet (siehe nullhomologer Zyklus).

Cauchyintegralsatz für nullhomologe Zyklen

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen, $\Gamma$ ein in $G$ nullhomologer Zyklus. Dann ist für jede holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C}$

\int _{\Gamma }f(z)\,dz=0

Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen

Sei $w\in G\setminus \mathrm {Spur} (\Gamma )$ außerhalb der Spur von $\Gamma$ gewählt, damit man die gegebene holomorphe Funktion $f$ über die globalen Integralformel für nullhomologe Zyklen darstellen kann.

Schritt 1 - Definition der Abbildung g

, definiere $g\colon G\to \mathbb {C}$ durch

g(z):=(z-w)\cdot f(z)

dann ist $g$ holomorph und nach der globalen Integralformel folgt

\int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{\Gamma }{\frac {g(z)}{z-w}}\,dz=2\pi i\cdot {\frac {1}{2\pi i}}\cdot \int _{\Gamma }{\frac {g(z)}{z-w}}\,dz=2\pi i\cdot n(\Gamma ,w)\cdot \underbrace {g(w)} _{=0}=0.

Dabei wurde $g(w)=(w-w)\cdot f(w)=0$ verwendet.

Bemerkung - Anwendung auf konvexe Gebiete

Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen durch Ergänzung von Wege auf Summe von Integralen auf konvexe Gebiete übertragen. Die Ergänzung von Wegen erfolgt mit Integralsumme 0.

Siehe auch

Seiten-Information

Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionentheorie erstellt.

Inhalte der Seite basieren auf:
- https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy
Diese Seite ist eine PanDocElectron-SLIDE Dokumententyp
Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe
Nächster Inhalt des Kurses ist der Cauchy-Integralformel für Zyklen