Integralsatz von Cauchy

Einleitung

Der Integralsatz von Cauchy ist eine der zentralen Aussagen der Funktionentheorie. Es gibt ihn in verschiedenen Versionen, von denen wir in diesem Artikel eine grundlegende auf konvexen Gebieten und eine relativ allgemeine für nullhomologe Zyklen vorstellen wollen.

Bezeichnung - CIF - CIS

Die Cauchy-Integralformel (CIF) stellt die holomorphe Funktion als Integral dar, wobei bei die Holomorphie von $f:G\to \mathbb {C}$ mit dem Lemma von Goursat in die Integraldarstellung $f(z)=...\int _{\gamma }\ldots dz$ eingeht. Der Cauchy-Integralsatz (CIS) besagt dagegen, dass das Integral über Kreisränder in konvexen Gebieten immer 0 ist und zusammen mit der Existenz von Stammfunktionen mit der CIS-Eigenschaft ein Holomorphiekriterium darstellt:

{\begin{array}{cccl}\mathbf {(CIF)} &f(z)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi \\\mathbf {(CIS)} &0&=&\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz\\\end{array}}

Bezeichnung - CIF-NZ - CIS-NZ

Die Cauchy-Integralformel (CIF) und der Cauchy-Integralsatz (CIS) kann man dann auf nullhomologe Zyklen erweitern:

{\begin{array}{crcl}\mathbf {(CIF-NZ)} &f(z)\cdot n(\Gamma ,z)&=&\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}\,d\xi \\\mathbf {(CIS-NZ)} &0&=&\displaystyle \oint _{\Gamma }f(z)\,dz\\\end{array}}

Beispiel - Integrationsweg - nicht nullhomolog

Bekannt ist, dass das Integral über $f(z)={\frac {1}{z}}$ bei der Integration über den geschlossenen Weg $\gamma (t):=r\cdot e^{it}$ über den Kreisrand mit Mittelpunkt 0, den Wert $2\pi i$ liefert. Der Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete besagt, dass das Integral über geschlossene Weg von holomorphen Funktionen 0 sein muss, wenn das Gebiet $G$ konvex ist. Dies ist für $f(z)={\frac {1}{z}}$ nicht der Fall, da 0 innerhalb vom Kreis liegt, aber nicht zum Definitionsbereich von $f$ gehört.

Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ ein konvexes Gebiet, $\gamma$ ein in $G$ geschlossener rektifizierbarer Weg. Dann ist für jede holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C}$

\int _{\gamma }f(z)\,dz=0

Beweis

Der Beweis des Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete verwendet im Wesentlichen das Lemma von Goursat mit Ausnahme eines Punktes, in dem eine holomorphe Funktion zumindest noch stetig ist.

Erweiterung auf Zyklen auf beliebigen offenen Mengen

Auf beliebigen offenen Mengen $U$ muss man bei den Zyklen darauf achten, dass keine Singularitäten/Polstellen im Komplement des Definitionsbereiches $U$ umrundet werden. Bei dem Umlaufen von Singularitäten kann ein von 0 verschiedener Beitrag vom Integral erzeugt werden (wie z.B. bei der Funktion $f(z)={\frac {1}{z}}$ und $\gamma (t):=e^{it}$ auf einem Gebiet $G=\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ). Auch wenn $f$ holomorph auf $G$ ist das Integral in einem solchen Fall nicht notwendig 0, sondern jeder Umlauf im Wegintegral liefert $2\pi i$ als Beitrag zum Integral.

Eigenschaften von Wegen

In dem obigen Beispiel ist der bzw. Integrationsweg $\gamma$ (bzw. in allgemeiner Form der Zyklus) nicht nullhomolog, da $\gamma$ die $0\in G^{c}=\{0\}$ umrundet (siehe nullhomologer Zyklus). Das Beispiel zeigt, dass man den Cauchy-Integralsatz zwar nicht auf beliebige Gebiete $G$ erweitern kann, aber die Motivation dafür liefert nullhomologe Zyklen in Gebieten näher zu untersuchen.

Cauchy-Integralsatz für nullhomologe Zyklen

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen, $\Gamma$ ein in $G$ nullhomologer Zyklus. Dann ist für jede holomorphe Funktion $f\colon G\to \mathbb {C}$

\int _{\Gamma }f(z)\,dz=0

Beweis - CIS für nullhomologe Zyklen

Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte:

Definition einer holomorphen Funktion $g:G\to \mathbb {C}$ mit $g(z):=f(z)\cdot (z-z_{o})$ für eine beliebiges $z_{o}\in G$ .
Anwendung der Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen (CIF-NZ) auf die Funktion $g$ .
Man erhält (CIS-NZ) durch $g(z_{o})=0$

Beweisschritt 1 - Definition der Funktion

Die Funktion $h(z):=z-z_{o}$ ist eine ganze Funktion und die Verkettung $g:=f\cdot h$ ist zumindest eine holomorphe Funktion auf $G$ . Ziel ist die Anwendung der Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen auf die Funktion $g(z)=f(z)\cdot (z-z_{o})$ .

Beweisschritt 2 - Cauchy-Integralformel CIF-NZ für g

Die Cauchy-Integralformel für nullhomologe Zyklen lautet angewendet auf $g$ :

n(\Gamma ,z)\cdot g(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {g(w)}{w-z}}\,dw

Beweisschritt 3 - Einsetzen eines Punktes

Die Darstellung aus Beweisschritt 2 gilt für alle $z\in G$ also insbesondere für $z_{o}$ und man erhält:

n(\Gamma ,z_{o})\cdot \underbrace {g(z_{o})} _{=0}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {g(w)}{w-z_{o}}}\,dw=0

Dabei ist das Integral 0, weil $g(z_{o})=f(z_{o})\cdot (z_{o}-z_{o})=0$ gilt.

Beweisschritt 4 - Einsetzen der Defintion von g

Durch Einsetzen der Definition von $g$ erhält man für beliebiege $z_{o}\in G$ die Darstellung:

0=n(\Gamma ,z_{o})\cdot g(z_{o})={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }{\frac {f(w)\cdot (w-z_{o})}{w-z_{o}}}\,dw

Beweisschritt 5 - Unabhängigkeit von der Wahl des Punkte

Der rechte Integralterm ist unabhängig von der konkreten Wahl von $z_{o}\in G$ und $g$ :

0=n(\Gamma ,z_{o})\cdot g(z_{o})=\underbrace {\frac {1}{2\pi i}} _{\not =0}\cdot \underbrace {\int _{\Gamma }f(w)\,dw} _{=0}

Damit man erhält die Behauptung (CIS-NZ) mit $\int _{\Gamma }f(w)\,dw=0\quad \Box$

Bemerkung - Kompakte Mengen

Die folgenden Vorüberlegungen helfen ferner dabei, Stammfunktionen aus lokalen Stammfunktionen beliebig hoher Ordnung zu konstruieren und deren Funktionswert über lokale Stammfunktionen berechnen zu können.

Spur und Inneres eines Zyklus

Man betrachtet in dem Vorgehen eine kompakte Menge $K\subseteq G$ , die sich aus der Vereinigung der von $\Gamma$ umlaufenen Punkten $Int(\Gamma )$ und der $\mathrm {Spur} (\Gamma )$ ergibt. Durch die Eigenschaft der Kompaktheit kann man CIS für eine endliche Anzahl von konvexe Teilmengen anwenden und so den CIS für konvexe Gebiete auf nullhomologe Zyklen erweitern.

Schritt 1 - Innere Punkte

Für einen Zyklus $\Gamma$ sind die inneren Punkte für $\Gamma$ wie folgt definiert:

\operatorname {Int} (\Gamma ):=\{z\in \mathbb {C} \setminus \operatorname {Spur} \,\Gamma :n(\Gamma ,z)\neq 0\}

Die Menge $\operatorname {Int}$ ist eine betragsmäßig beschränkte Menge, d.h. es existiert ein Schranke $S>0$ , sodass gilt:

{\underset {z\in \operatorname {Int} (\Gamma )}{\forall }}\quad |z|\leq S

Die inneren Punkte werden nun zu einer kompakten Menge erweitert.

Schritt 2 - Anwendung CIS für konvexe Gebiete

Vereinigt man die umlaufenen Punkte $\operatorname {Int} (\Gamma )$ mit der $\mathrm {Spur} (\Gamma )$ entsteht eine beschränkt und abgeschlossene Menge $K:=\operatorname {Int} (\Gamma )\cup \mathrm {Spur} (\Gamma )$ . Nach dem Satz von Heine-Borel ist $K$ kompakt. Mit den folgenden Anmerkungen wird die topologische Eigenschaft der Kompaktheit in topologischen Räumen verwendet, um den Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete für den allgemeineren Fall eines nullhomologen Zyklus zu anwenden zu können.

Schritt 3 - Kompakte Menge aus Zyklus erzeugen

Das Innere $\operatorname {Int} (\Gamma ):=\{z\in \mathbb {C} \setminus \operatorname {Spur} \,\Gamma :n(\Gamma ,z)\neq 0\}$ eines nullhomologen Zyklus $\Gamma$ (offenen Menge) vereinigt mit der $\mathrm {Spur} (\Gamma )$ ist eine kompakte Menge $K=\operatorname {Int} (\Gamma )\cup \mathrm {Spur} (\Gamma )$ . Nach der Definition einer kompakten Mengen in einem topologischen Raum besitzt jede offene Überdeckung $\bigcup _{i\in I}U_{i}\supseteq K$ auch eine endliche Teilüberdeckung $\bigcup _{k=1}^{n}U_{i_{k}}\supseteq K$ .

Schritt 4 - Offene Überdeckung mit Kreisschreiben

Wählt man für die offene Überdeckung Kreischeiben $D_{r}(z_{o})\subseteq G$ mit beliebige $z_{o}\in G$ so erhält man $D_{1},\ldots ,D_{n}$ Kreisscheiben mit $\bigcup _{k=1}^{n}D_{k}\supseteq K$ .

Schritt 5 - Ergänzung von annulierenden Wegen

Dabei wird das Gesamtintegral über Zyklen $\Gamma$ durch evtl. Ergänzung von sich annulierenden Wegpaaren als eine Summe von Wegintegralen über geschlossene Wege $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}$ darstellen, wobei die Spuren $\mathrm {Spur} (\gamma _{k})\subset D_{k}$ in den konvexen Gebieten $D_{k}$ mit $k\in \{1,\ldots ,n\}$ liegen. Die Ergänzung von sich annulierenden Wegpaare mit umgekehrter Orientierung wurde bereits im Lemma von Goursat verwendet. Dabei verändert sich Wert des Gesamtintegrals über den Zyklus $\Gamma$ nicht.

Schritt 6 - Anwendung des CIS für konvexe Gebiete

Für die einzelnen geschlossenen Wegintegrale über $\gamma _{k}$ kann man den Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete anwenden und damit gilt für die einzelnen Integrale:

\oint _{\gamma _{k}}f(z)\,dz=0

Damit gilt auch das Integral über den Zyklus $\Gamma$ :

\oint _{\Gamma }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{n}\underbrace {\oint _{\gamma _{k}}f(z)\,dz} _{=0}=0

Dies Vorgehen soll nun in der folgenden Übung durchgeführt werden

Aufgabe für Studierende

Sei $\gamma _{r}:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ mit $\gamma _{_{(z_{o},r)}}(t)=z_{o}+re^{it}$ definiert. Im Folgenden wird der Zyklen $\Gamma$ betrachtet:

\Gamma :=\gamma _{_{(1+i,6)}}-\gamma _{_{(i,5)}}-\gamma _{_{(-i,2)}}+2\cdot \gamma _{_{(0,1)}}

Definition der Funktion

Das Integral soll über die Funktion $f(z)={\frac {1}{z^{2}+4}}$ auf $G:=\mathbb {C} \setminus \{-2i,+2i\}$ betrachtet. Die Frage ist, ob man die Cauchy-Intgralformel für nullhomologe Zyklen auf das obige $\Gamma$ anwenden darf.

Aufgabe 1

Zeichnen Sie die $Spur(\Gamma )$ in der Gaußschen Zahlenebene und bestimmen Sie die Umlaufzahlen für die Flächen!

Aufgabe 2

Überprüfen Sie, ob der obige Zyklus nullhomolog ist. Falls der Zyklus nicht nullhomolog ist, ergänzen Sie Vielfachheiten zu der Zyklusdefinition so, dass der Zyklus nullhomolog ist.

Siehe auch

Seiten-Information

Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionentheorie erstellt.

Inhalte der Seite basieren auf:
- https://de.wikipedia.org/wiki/Integralsatz_von_Cauchy
Diese Seite ist eine PanDocElectron-SLIDE Dokumententyp
Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Laurent-Reihe
Nächster Inhalt des Kurses ist der Cauchy-Integralformel für Zyklen