Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe/Lösung

Die geometrische Reihe ist $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ und die Exponentialreihe ist $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{x}^n$. Das Cauchy-Produkt von zwei Reihen ergibt sich einfach dadurch, dass man jeden Summanden mit jedem Summanden multipliziert und gleiche Potenzen aufsummiert. Daher können die Potenzen $x^5,x^6,$ etc. ignoriert werden und es ist

$\begin{array}{cc}& (1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4)\\ & =(1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{24}{x}^4)+(x+x^2+\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{6}{x}^4)+(x^2+x^3+\frac{1}{2}{x}^4)+x^3+x^4+x^4+\dots \\ & =1+2x+\frac{5}{2}{x}^2+\frac{8}{3}{x}^3+\frac{65}{24}{x}^4+\dots .\end{array}$

Das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der beiden Reihen ist also

$1+2x+\frac{5}{2}{x}^2+\frac{8}{3}{x}^3+\frac{65}{24}{x}^4.$

Zur gelösten Aufgabe