Cayley-Hamilton/3541/Aufgabe/Lösung

a) Das charakteristische Polynom ist

${}{\begin{aligned}\det \left({\begin{pmatrix}X&0\\0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}\right)&=\det {\begin{pmatrix}X-3&-5\\-4&X-1\end{pmatrix}}\\&=(X-3)(X-1)-20\\&=X^{2}-4X-17.\end{aligned}}$

b) Es ist

${}M^{2}={\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}29&20\\16&21\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}{\left(X^{2}-4X-17\right)}(M)&=M^{2}-4M-17E_{2}\\&={\begin{pmatrix}29&20\\16&21\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}3&5\\4&1\end{pmatrix}}-17{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe