Cayley-Hamilton/3x3-Matrix/2/Überprüfe/Aufgabe/Lösung

Das charakteristische Polynom von

${\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}$

ist

${}{\begin{aligned}\det \left({\begin{pmatrix}X&0&0\\0&X&0\\0&0&X\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}\right)&=\det {\begin{pmatrix}X-3&0&2\\6&X-4&-5\\1&-3&X-4\end{pmatrix}}\\&={\left(X-3\right)}{\left({\left(X-4\right)}^{2}-15\right)}+2{\left(-18-X+4\right)}\\&=X^{3}-11X^{2}+25X-3-2X-28\\&=X^{3}-11X^{2}+23X-31.\end{aligned}}$

Es ist

${}{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}^{2}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}^{3}={\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}83&-66&-108\\-379&280&457\\-252&195&302\end{pmatrix}}\,.$

Es ist in der Tat

${}{\begin{pmatrix}83&-66&-108\\-379&280&457\\-252&195&302\end{pmatrix}}-11{\begin{pmatrix}11&-6&-14\\-47&31&52\\-25&24&33\end{pmatrix}}+23{\begin{pmatrix}3&0&-2\\-6&4&5\\-1&3&4\end{pmatrix}}-31{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe