Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Faktoren/Zerlegung/Invariante Untervektorräume/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen ${}K$-Vektorraum ${}V$ und sei

${}\chi _{\varphi }=P\cdot Q\,$

eine Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms in teilerfremde Polynome  ${}P,Q\in K[X]$  mit der zugehörigen direkten Summenzerlegung

${}V=\operatorname {kern} P(\varphi )\oplus \operatorname {kern} Q(\varphi )\,$

in ${}\varphi$-invarianten Untervektorräumen. Es sei  ${}U\subseteq V$  ein ${}\varphi$-invarianter Untervektorraum. Zeige

${}U={\left(U\cap \operatorname {kern} P(\varphi )\right)}\oplus {\left(U\cap \operatorname {kern} Q(\varphi )\right)}\,.$

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