Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Faktoren/Zerlegung/Invariante Untervektorräume/Aufgabe

Es sei $\phi :V\to V$ eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$ und sei

${\chi }_{\phi }=P\cdot Q$

eine Faktorzerlegung des charakteristischen Polynoms in teilerfremde Polynome  $P,Q\in K[X]$  mit der zugehörigen direkten Summenzerlegung

$V=\mathrm{kern}P(\phi )\oplus \mathrm{kern}Q(\phi )$

in $\phi$-invarianten Untervektorräumen. Es sei  $U\subseteq V$  ein $\phi$-invarianter Untervektorraum. Zeige

$U=(U\cap \mathrm{kern}P(\phi ))\oplus (U\cap \mathrm{kern}Q(\phi )).$

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