Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Faktoren/Zerlegung/Invariante Untervektorräume/Aufgabe/Lösung

Da ${}U$ invariant unter ${}\varphi$ ist, ist nach Aufgabe ${}U$ auch invariant unter ${}P(\varphi )$ für jedes Polynom ${}P$. Es seien  ${}S,T\in K[T]$  Polynome mit

${}SP+TQ=1\,,$

die es nach dem Lemma von Bezout gibt. Zu  ${}v\in V$  ist

${}v=P(\varphi )(S(\varphi )(v))+Q(\varphi )(T(\varphi )(v))\,$

die Zerlegung von ${}v$ in die beiden Räume. Es sei  ${}v\in U$  mit der Zerlegung

${}v=v_{1}\oplus v_{2}\,$

im Sinne von Fakt. Es ist zu zeigen, dass ${}v_{1}$ ebenfalls zu ${}U$ gehört. Dies folgt aber direkt aus

${}v_{1}=P(\varphi )(S(\varphi )(v))\,$

und der Invarianz von ${}U$ bezüglich ${}(PS)(\varphi )$.

Zur gelösten Aufgabe