Charakteristisches Polynom/Teilerfremde Faktoren/Zerlegung/Invariante Untervektorräume/Aufgabe/Lösung

Da $U$ invariant unter $\phi$ ist, ist nach Aufgabe $U$ auch invariant unter $P(\phi )$ für jedes Polynom $P$. Es seien  $S,T\in K[T]$  Polynome mit

$SP+TQ=1,$

die es nach dem Lemma von Bézout gibt. Zu  $v\in V$  ist

$v=P(\phi )(S(\phi )(v))+Q(\phi )(T(\phi )(v))$

die Zerlegung von $v$ in die beiden Räume. Es sei  $v\in U$  mit der Zerlegung

$v=v_1\oplus v_2$

im Sinne von Fakt. Es ist zu zeigen, dass $v_1$ ebenfalls zu $U$ gehört. Dies folgt aber direkt aus

$v_1=P(\phi )(S(\phi )(v))$

und der Invarianz von $U$ bezüglich $(PS)(\phi )$.

Zur gelösten Aufgabe