Dachprodukt/Transformation des äußersten Dachprodukts/Determinante/Fakt/Beweis

Beweis

Mit ${}M={\left(b_{jk}\right)}$ ist ${}v_{j}=\sum _{k=1}^{n}b_{jk}w_{k}$ und mit der transponierten Matrix ${}{M^{\text{tr}}}=(a_{ij})$ ist ${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}w_{i}$. Damit sind wir in der Notation von Fakt  (4) und es gilt

${}{\begin{aligned}v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}&=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{n}\leq n}{\left(\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{i_{\pi (j)}j}\right)}w_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge w_{i_{n}}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{j=1}^{n}a_{{\pi (j)}j}w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{n},\end{aligned}}$

da dann ${}i_{j}=j$ sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.

Zur bewiesenen Aussage