Dachprodukt/Transformation mit Determinante/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum und seien $v_{1}, \dots, v_{n}$ und $w_{1}, \dots, w_{n}$ Vektoren in $V$ , die miteinander in der Beziehung

(\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = M (\begin{matrix} w_{1} \\ ⋮ \\ w_{n} \end{matrix})

stehen, wobei $M$ eine $n \times n$ -Matrix bezeichnet.

Dann gilt in $\overset{n}{⋀} V$ die Beziehung

$v_{1} \land \dots \land v_{n} = (det M) w_{1} \land \dots \land w_{n} .$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen