Dedekindbereich/Erweiterung/Klassengruppe/Rückzug/Textabschnitt

Lemma

Zu einer Erweiterung von Dedekindbereichen ${}R\subseteq S$

gehört in funktorieller Weise ein Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(S\right)},\,[{\mathfrak {a}}]\longmapsto [{\mathfrak {a}}S].$

Beweis

Wir gehen von der Zuordnung aus, die jedem von ${}0$ verschiedenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ von ${}R$ das Erweiterungsideal ${}{\mathfrak {a}}S$ zuordnet, das ebenfalls von ${}0$ verschieden ist. Diese Zuordnung ist mit dem Produkt von Idealen verträglich. Deshalb liegt ein Monoidhomomorphismus vor. Ein gebrochenes Ideal kann man nach Aufgabe in der Form ${}{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}^{-1}$ mit Idealen ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ schreiben und diesem das gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {a}}S({\mathfrak {b}}S)^{-1}$ zuordnen. Dies ist wohldefiniert und so erhält man einen Gruppenhomomorphismus von der Gruppe der gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ von ${}R$ in die Gruppe der gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ von ${}S$. Das Erweiterungsideal eines Hauptideals ist wieder ein Hauptideal, und deshalb werden gebrochene Hauptideale auf gebrochene Hauptideale abgebildet. Der Satz vom induzierten Homomorphismus ergibt somit einen Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(S\right)}.$

$\Box$

Insgesamt liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}\operatorname {Gebrochene\,Hauptideale} {\left(R\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gebrochene\,Ideale} {\left(R\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} {\left(R\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\operatorname {Gebrochene\,Hauptideale} {\left(S\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {Gebrochene\,Ideale} {\left(S\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\operatorname {DKG} {\left(S\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor. Auf der Divisorebene wird dabei einem Primdivisor ${}{\mathfrak {p}}$ der Divisor zum Ideal ${}{\mathfrak {p}}S$ zugeordnet. Das Erweiterungsideal zu ${}{\mathfrak {p}}$ beschreibt dabei die Faser der Spektrumsabbildung ${}\operatorname {Spek} {\left(S\right)}\rightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ über ${}{\mathfrak {p}}$. Dies ist insbesondere bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen relevant. Man kann sich fragen, ob die Abbildung zwischen den Klassengruppen stets injektiv ist, oder ob umgekehrt ein nichttriviales Ideal zu einem Hauptideal werden kann. Dies ist in der Tat der Fall.

Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}R$ zu ${}D=-5$ das Ideal ${}{\mathfrak {p}}=(2,1+{\sqrt {-5}})$, das nach Beispiel kein Hauptideal ist. Es sei ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ (oder von ${}\mathbb {Z}$) im Erweiterungskörper ${}L=\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}},{\sqrt {2}}]$ vom Grad vier über ${}\mathbb {Q}$. Wir haben also eine Kette

${}\mathbb {Z} \subset R\subset S\,$

von Zahlbereichen. Wir behaupten, dass das Erweiterungsideal

${}{\mathfrak {p}}S=(2,1+{\sqrt {-5}})S\,$

ein Hauptideal in ${}S$ ist, und zwar behaupten wir, dass ${}{\sqrt {2}}$ ein Idealerzeuger davon ist. Dazu betrachten wir zunächst das rationale Element ${}z={\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {-5}}}{2}}={\frac {1+{\sqrt {-5}}}{\sqrt {2}}}\in L$. Wegen

${}z^{2}={\left({\frac {{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {-5}}}{2}}\right)}^{2}={\frac {2-2\cdot 5+4{\sqrt {-5}}}{4}}=-2+{\sqrt {-5}}\in R\,$

erfüllt ${}z$ eine Ganzheitsgleichung über ${}R$ und gehört somit zu ${}S$ (ebenso, wenn im Zähler ein Minuszeichen steht). Die Gleichheit

${}{\mathfrak {p}}S=({\sqrt {2}})\,$

folgt einerseits aus

${}2={\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}\,$

und

${}1+{\sqrt {-5}}=z\cdot {\sqrt {2}}\,$

und andererseits aus

${}-{\sqrt {2}}\cdot 2+{\frac {1-{\sqrt {-5}}}{\sqrt {2}}}(1+{\sqrt {-5}})=-{\sqrt {2}}\cdot 2+{\frac {6}{\sqrt {2}}}=-{\sqrt {2}}\cdot 2+3\cdot {\sqrt {2}}={\sqrt {2}}(-2+3)={\sqrt {2}}\,.$

Es gilt sogar, dass man im zahlentheoretischen Kontext jede Klasse trivialisieren kann. Dies bedeutet aber nicht, dass es zu jedem Zahlbereich eine faktorielle Erweiterung gibt, da durch die Trivialisierung typischerweise „an anderer Stelle“ nichttriviale Klassen auftreten.