Dezimalbrüche/Einheiten/Gruppe/Aufgabe/Lösung

Der Ring der Dezimalbrüche besteht aus allen Dezimalbrüchen, also aus allen rationalen Zahlen, die mit einer Potenz von ${}10$ als Nenner geschrieben werden können. Die Einheiten darin sind alle Zahlen der Form

$\pm 2^{i}5^{j},i,j\in \mathbb {Z} ,$

(im Sinne von Fakt). Das Inverse einer solchen Zahl ist ${}\pm 2^{-i}5^{-j}$, also in der Tat wieder von dieser Form. Sobald in einem solchen Produkt eine weitere Primzahl ${}p$ mit einem Exponenten ${}k\neq 0$ auftauchen würde, so wäre entweder die Zahl selbst oder ihr Inverses (in ${}\mathbb {Q}$) kein Dezimalbruch. Die Einheitengruppe hat als abstrakte Gruppe die Form

${}R^{\times }\cong \{\pm 1\}\times \mathbb {Z} ^{2}\cong \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} ^{2}\,.$

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