Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Zurückziehen unter Abbildungen/Textabschnitt

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Definition  

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

eine differenzierbare Abbildung. Es sei eine -Differentialform auf . Dann nennt man die -Form auf , die der durch

gegebenen alternierenden Abbildung entspricht, die mit zurückgezogene -Form. Sie wird mit

bezeichnet.



Lemma  

Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

eine differenzierbare Abbildung. Dann erfüllt das Zurückziehen von Differentialformen folgende Eigenschaften.

  1. Für eine Funktion ist .
  2. Die Abbildungen

    sind -linear.

  3. Wenn eine offene Untermannigfaltigkeit ist, so ist das Zurückziehen einer Differentialform einfach die Einschränkung auf diese Teilmenge.
  4. Es sei eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und

    eine weitere differenzierbare Abbildung. Dann gilt

    für jede Differentialform .

Beweis  

(1) folgt unmittelbar aus der Definition.
(2). Wir müssen für Differentialformen und und Skalare zeigen, dass gilt. Eine solche Gleichheit von Differentialformen bedeutet, dass die Gleichheit in jedem Punkt und für jedes -Tupel von Tangentialvektoren gilt. Daher folgt die Behauptung aus


(3) folgt unmittelbar aus der Definition.
(4). Es sei , und eine -Form auf . Dann gilt unter Verwendung von Fakt  (4)

und dies ist die Behauptung.



Lemma  

Es seien und offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei

eine differenzierbare Abbildung und es sei eine -Differentialform auf mit der Darstellung

wobei Funktionen sind.

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

Beweis  

Die zweite Gleichung beruht auf einer einfachen Umordnung. Aufgrund von Fakt (2) kann man sich auf den Fall beschränken. Wir setzen und dürfen annehmen. Wir zeigen die Gleichheit der beiden -Formen auf , indem wir zeigen, dass sie für jeden Punkt und jedes Dachprodukt mit den gleichen Wert liefern. Es ist einerseits

Wenn man andererseits die Summe auf anwendet, so ist außer bei , wo sich der Wert ergibt, so dass sich also der gleiche Wert ergibt.



Korollar  

Es seien offene Teilmengen, deren Koordinaten mit bzw. mit bezeichnet seien. Es sei

eine differenzierbare Abbildung und es sei eine -Differentialform auf mit der Darstellung

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.