Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Vektorfelder/Lie-Klammer/Einführung/Textabschnitt

Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ sind die partiellen Ableitungen ${}\partial _{i}$ und ${}\partial _{j}$ als Operationen auf zweifach stetig differenzierbaren Funktionen vertauschbar, also

${}\partial _{i}\circ \partial _{j}=\partial _{j}\circ \partial _{i}\,.$

Eine Linearkombination

${}V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\,$

mit auf ${}U$ definierten reellwertigen Funktionen ${}f_{i}$ kann man als Vektorfeld

$U\longrightarrow TU=U\times \mathbb {R} ^{n},\,P\longmapsto (P,\sum _{i=1}^{n}f_{i}(P)\partial _{i})=(P,f_{1}(P),\ldots ,f_{n}(P)),$

und ebenso als Ableitungsoperator

$C^{1}(U,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{0}(U,\mathbb {R} ),\,h\longmapsto \sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}h,$

auffassen (oder von ${}C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$ nach ${}C^{\infty }(U,\mathbb {R} )$). In diesem Sinne entsprechen sich Vektorfelder und Differentialoperatoren der ersten Ordnung. Differentialoperatoren kann man aber darüber hinaus miteinander verknüpfen, wobei sich herausstellt, dass es auf die Reihenfolge ankommt.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n},h$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$.

Dann gilt

${\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}(h)\right)}=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}g_{j}\right)}\partial _{j}h+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}f_{i}g_{j}\partial _{i}\partial _{j}h\,.$

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left({\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}(h)\right)}&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}(h)\right)}\\&=\sum _{i=1}^{n}f_{i}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(\partial _{i}(g_{j})\partial _{j}(h)+g_{j}\partial _{i}\partial _{j}(h)\right)}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}g_{j}\right)}\partial _{j}h+\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}f_{i}g_{j}\partial _{i}\partial _{j}h.\end{aligned}}$

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An dieser expliziten Beschreibung sieht man

${}{\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\neq {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\,,$

da zwar der zweite Summand gleich ist, aber nicht der erste. Dies hat auch die folgende Konsequenz.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren ${}D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$ und ${}E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$

Dann gilt

${}D\circ E-E\circ D=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}\,.$

Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung ${}1$ und somit einem Vektorfeld.

Beweis

Nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}D\circ E-E\circ D&={\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\circ {\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}-{\left(\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}\right)}\circ {\left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\right)}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}.\end{aligned}}$

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Auf einer Mannigfaltigkeit bezeichnen wir den Differentialoperator zu einem Vektorfeld ${}V$ mit ${}D_{V}$. Zu einer differenzierbaren Funktion ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ ist ${}D_{V}(f)=T(f)\circ V$. Angewendet auf einen Punkt ${}P\in M$ ist

${}{\left(D_{V}(f)\right)}(P)=T_{P}(f)(V(P))\,.$

Entsprechendes gilt für eine auf einer offenen Teilmenge von ${}M$ definierten differenzierbaren Funktion.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ stetig differenzierbare Vektorfelder auf einer ${}C^{2}$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit den zugehörigen Differentialoperatoren ${}D_{V}$ und ${}D_{W}$. Dann nennt man das Vektorfeld, das der Hintereinanderschaltung ${}D_{V}\circ D_{W}-D_{W}\circ D_{V}$ entspricht, die Lie-Klammer der beiden Vektorfelder. Sie wird mit ${}[V,W]$ bezeichnet.

Es ist eine Konvention, welche Reihenfolge der Operatoren mit einem Minuszeichen in die Definition eingeht.

Lemma

Es sei ${}M$ eine ${}C^{2}$-differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann erfüllt die Lie-Klammer von Vektorfeldern die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}[V,W]=-[W,V]$.
2. Es ist ${}[V_{1}+V_{2},W]=[V_{1},W]+[V_{2},W]$.
3. Für eine differenzierbare Funktion ${}f$ auf ${}M$ ist

   ${}[fV,W]=f[V,W]-{\left(D_{W}f\right)}V\,.$

Beweis

(1) folgt aus der Definition, (2) folgt aus der Beziehung

${}D_{V_{1}+V_{2}}=D_{V_{1}}+D_{V_{2}}\,$

zwischen Differentialoperatoren und Vektorfeldern. (3). Da die Aussage lokal ist, können wir

${}V=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}\,$

und ${}W=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ ansetzen. Dann ist

${}fV=f\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}ff_{i}\partial _{i}\,$

und nach Fakt ist

${}{\begin{aligned}\,[fV,W]&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(ff_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}(ff_{j})\right)}\right)}\partial _{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(ff_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}{\left(f\partial _{i}(f_{j})+f_{j}\partial _{i}(f)\right)}\right)}\right)}\partial _{j}\\&=f\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}(f_{j})\right)}\right)}\partial _{j}-\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}f_{j}\partial _{i}(f)\right)}\partial _{j}\\&=f[V,W]-\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}\partial _{i}(f)\right)}f_{j}\partial _{j}\\&=f[V,W]-{\left(\sum _{i=1}^{n}g_{i}\partial _{i}(f)\right)}{\left(\sum _{j=1}^{n}f_{j}\partial _{j}\right)}\\&=f[V,W]-D_{W}(f)V.\end{aligned}}$

$\Box$