Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Dachprodukt/Wohldefiniert/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\sigma$ eine ${}i$-te geschlossene Differentialform und ${}\tau$ eine ${}j$-te geschlossene Differentialform. Dann ist zunächst ${}\sigma \wedge \tau$ ebenfalls geschlossen, da nach Fakt  (3) die Produktregel

${}d(\sigma \wedge \tau )=(d\sigma )\wedge \tau +(-1)^{i}\sigma \wedge d\tau \,$

gilt. Wenn man zu ${}\sigma$ (entsprechend zu ${}\tau$) eine exakte Differentialform ${}d\omega$ (mit einer ${}i-1$-Form ${}\omega$) hinzuaddiert, ist ebenfalls wegen der Produktregel

${}{\begin{aligned}{\left(\sigma +d\omega \right)}\wedge \tau &=\sigma \wedge \tau +{\left(d\omega \right)}\wedge \tau \\&=\sigma \wedge \tau +d(\omega \wedge \tau )-(-1)^{i-1}\omega \wedge d\tau \\&=\sigma \wedge \tau +d(\omega \wedge \tau ),\end{aligned}}$

d.h.

${}[{\left(\sigma +d\omega \right)}\wedge \tau ]=[\sigma \wedge \tau ]\,$

in ${}H_{dR}^{i+j}(M)$. Die Assoziativität folgt aus der Assoziativität des Dachproduktes.

Zur bewiesenen Aussage