Differenzierbare Mannigfaltikeit/Funktorielle Eigenschaften des Tangentialraums/Textabschnitt

Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$ und es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M$

zwei differenzierbare Kurven mit einem offenen Intervall ${}0\in I$ und ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$. Es seien ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ im Punkt ${}P$ tangential äquivalent.

Dann sind auch die Verknüpfungen ${}\varphi \circ \gamma _{1}$ und ${}\varphi \circ \gamma _{2}$ tangential äquivalent in ${}Q$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Aufgrund dieses Lemmas ist der folgende Begriff wohldefiniert.

Definition

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die Abbildung

$T_{P}M\longrightarrow T_{\varphi (P)}N,\,[\gamma ]\longmapsto [\varphi \circ \gamma ],$

die zugehörige Tangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}(\varphi )$ bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ , ${}Q=\varphi (P)$ und es sei

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

die zugehörige Tangentialabbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}M\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und ${}N\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offene Teilmengen sind und die Tangentialräume mit den umgebenden euklidischen Räumen identifiziert werden, so ist die Tangentialabbildung gleich dem totalen Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$.
2. Wenn

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   mit ${}P\in U$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ und

   $\beta \colon U'\longrightarrow W$

   mit ${}Q\in U'$ und ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ Karten sind, so ist das Diagramm

   ${\begin{matrix}T_{p}M&{\stackrel {T_{P}\varphi }{\longrightarrow }}&T_{Q}N&\\\downarrow &&\downarrow &\\\mathbb {R} ^{m}&{\stackrel {\left(D{\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)}\right)_{\alpha (P)}}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} ^{n}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   kommutativ, wobei die vertikalen Abbildungen durch die Isomorphismen ${}[\gamma ]\mapsto (\alpha \circ \gamma )'(0)$ bzw. ${}[\gamma ]\mapsto (\beta \circ \gamma )'(0)$ gegeben sind.

3. ${}T_{P}(\varphi )$ ist ${}\mathbb {R}$-linear.
4. Wenn ${}L$ eine weitere Mannigfaltigkeit, ${}R\in L$ und

   $\psi \colon L\longrightarrow M$

   eine weitere differenzierbare Abbildung mit ${}\psi (R)=P$ ist, so gilt

   ${}T_{R}(\varphi \circ \psi )=T_{P}(\varphi )\circ T_{R}(\psi )\,.$

5. Wenn ${}\varphi$ ein Diffeomorphismus ist, dann ist ${}T_{P}(\varphi )$ ein Isomorphismus.
6. Für eine differenzierbare Kurve

   $\gamma \colon I\longrightarrow M$

   mit einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$, ${}0\in I$ und ${}\gamma (0)=P$ gilt im Tangentialraum ${}T_{P}M$ die Gleichheit

   ${}[\gamma ]=(T_{0}(\gamma ))(1)\,.$

Beweis

(1). Jeder Tangentialvektor wird repräsentiert durch einen affin-linearen Weg ${}t\mapsto \gamma (t)=P+tv$ mit einem Vektor ${}v\in \mathbb {R} ^{m}$, so dass wir zwischen diesen Vektoren und den durch sie definierten Tangentialvektoren hin- und herwechseln können. Für den zusammengesetzten Weg ${}\varphi \circ \gamma$ gilt nach der Kettenregel

${}(T_{P}\varphi )([\gamma ])=[\varphi \circ \gamma ]=(\varphi \circ \gamma )'(0)=(D\varphi )_{P}\left({\left(D\gamma \right)}_{0}{\left(1\right)}\right)={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\,.$

(2). Die Kettenregel angewendet auf (wobei man ${}I$ und ${}V$ durch kleinere offene Mengen ersetzen muss)

$I{\stackrel {\alpha \circ \gamma }{\longrightarrow }}V{\stackrel {\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}}{\longrightarrow }}W$

liefert

${}{\left(D\left(\beta \circ \varphi \circ \alpha ^{-1}\right)\right)}_{\alpha (P)}{\left((\alpha \circ \gamma )'(0)\right)}=(\beta \circ (\varphi \circ \gamma ))'(0)\,,$

was gerade die Kommutativität des Diagramms ist.
(3). Die Aussage folgt aus (2) und der Linearität des totalen Differentials.
(4). Durch Übergang zu Karten folgt dies aus (2) und der Kettenregel.
(5) folgt aus (4) angewendet auf die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$.
(6). Das Element ${}1\in \mathbb {R}$ ist als Tangentenvektor an einem Punkt ${}a\in I$ als der Weg ${}s\mapsto a+s$ zu interpretieren. Bei ${}a=0$ ist dies der identische Weg. Daher ist

${}(T_{0}(\gamma ))(1)=(T_{0}(\gamma ))(\operatorname {Id} )=[\gamma \circ \operatorname {Id} ]=[\gamma ]\,.$

$\Box$

Definition

Es seien ${}M$ und ${}N$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in M$ und ${}Q=\varphi (P)$. Dann nennt man die zur Tangentialabbildung

$T_{P}(\varphi )\colon T_{P}M\longrightarrow T_{Q}N$

duale Abbildung

$T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto h\circ T_{P}(\varphi ),$

die Kotangentialabbildung im Punkt ${}P$. Sie wird mit ${}T_{P}^{*}(\varphi )$ bezeichnet.

Ausgeschrieben handelt es sich dabei um die Abbildung

$T_{Q}^{*}N\longrightarrow T_{P}^{*}M,\,h\longmapsto ([\gamma ]\mapsto h([\varphi \circ \gamma ])).$