Direkte Summe/Eigenräume/Aufgabe

Es sei ${}V=U\oplus W$ die direkte Summe der ${}K$-Untervektorräume ${}U,W\subseteq V$. Es seien ${}\psi \colon U\rightarrow U$ und ${}\theta \colon W\rightarrow W$ lineare Abbildungen, die sich zur linearen Abbildung

$\varphi =\psi \oplus \theta \colon V\longrightarrow V$

zusammensetzen. Es ist also

${}\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)\,,$

wobei ${}v=u+w$ die eindeutige Zerlegung von ${}v$ mit ${}u\in U$ und ${}w\in W$ ist. Zeige

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \oplus \theta \right)}=\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}\,.$

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