Direkte Summe/Eigenräume/Aufgabe/Lösung

Wir zeigen die beiden Inklusionen. Es seien  ${}u\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}$  und  ${}w\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}$.  Dann gilt für  ${}v=u+w$ 

${}\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)=\lambda u+\lambda w=\lambda (u+w)=\lambda v\,,$

also ist  ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \oplus \theta \right)}$.  Wenn umgekehrt  ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \oplus \theta \right)}$  mit der kanonischen Zerlegung

${}v=u+w\,$

mit  ${}u\in U$  und  ${}w\in W$  gilt, so ist

${}\lambda u+\lambda w=\lambda (u+w)=\lambda v=\varphi (v)=\psi (u)+\theta (w)\,.$

Da dieses Element eine eindeutige Zerlegung in ${}U\oplus W$ besitzt, muss  ${}\psi (u)=\lambda u$  und  ${}\theta (w)=\lambda w$  sein. Also ist  ${}u\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}$  und  ${}w\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}$  und somit  ${}v\in \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}\oplus \operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}$.  Wegen  ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\psi \right)}\subseteq U$  und  ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\theta \right)}\subseteq W$ 

ist die Summe direkt.

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