Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt

Zur Fußball-WM 2026

Das Einzelspiel

Aufgabe *

Vor einem Fußballspiel begrüßt jeder der elf Spieler einer Mannschaft jeden Spieler der anderen Mannschaft, jeder Spieler begrüßt die vier Unparteiischen und diese begrüßen sich alle untereinander. Wie viele Begrüßungen finden statt?

Beispiel

Bei einem Fußballspiel möchte man wissen, wer gegen wen im Verlauf des Spieles einen Zweikampf geführt hat, und dies durch einen Graphen darstellen. Da man innerhalb seiner Mannschaft keinen Zweikampf führt, ergibt sich ein bipartiter Graph, es ergeben sich nur Kanten zwischen den Spielern der einen und der anderen Mannschaft.

Bolzplatz

Aufgabe

Bei einem Fußballspiel auf dem Bolzplatz hat Mannschaft ${}\{A,B,C,D,E\}$ gegen die Mannschaft ${}\{R,S,T,U,V\}$ gespielt. Beim anschließenden Grillen überlegen sich die Spieler der ersten Mannschaft, mit welchen Spielern sie während des Spiels aneinander geraten sind, und kommen zu folgendem Ergebnis.

	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$
	${}R,T$	${}S,U$	${}V$	${}V,S$	${}U,T$

Kann es sein, dass es im Spiel eine Situation gab, in der gleichzeitig jeder Spieler mit einem gegnerischen Spieler aneinander geriet? Falls ja, wer geriet mit wem aneinander?

Aufgabe

Auf dem Bolzplatz hat die Algebra gegen die Topologie gespielt. Nach dem Spiel beim Grillen sprechen sie über ihre besten Zweikämpfe. Heinz, ein Algebraiker sagt, „ich hatte einen verdammt harten Zweikampf mit August“. August sagt: „meine Zweikämpfe mit Petra waren auch nicht ohne“. Petra sagt: „die Beate hab ich schön alt aussehen lassen“, was Beate kontert, indem sie sagt, dass sie dafür den Bernd umgenietet hat. Bernd wiederum sagt, dass seine Blutgrätsche gegen Alex bestimmt weh getan hat. Ist Alex ein Algebraiker oder ein Topologe?

Aufgabe *

Im Pokal spielt Bayern München gegen den TSV Wildberg. Der Trainer vom TSV Wildberg, Herr Tor Acker, sagt „Wir haben in dem Spiel nichts zu verlieren“. Die Logiklehrerin von Wildberg, Frau Loki Schummele, sagt „Wenn die Wildberger in dem Spiel nichts zu verlieren haben, dann haben auch die Münchner in dem Spiel nichts zu gewinnen“. Der Trainer von Bayern München, Herr Roland Rollrasen, sagt „Wir haben in dem Spiel etwas zu gewinnen“.

1. Ist die Aussage von Frau Schummele logisch korrekt?
2. Es sei vorausgesetzt, dass die Aussage des Bayerntrainers wahr ist. Welche Folgerung kann man dann für die Aussage von Herrn Acker ziehen?

Aufgabe *

Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie (neben einem Torwart) mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren.

1. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es?
2. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll?
3. Wildberg geht in der ${}80.$ Minute mit ${}1:0$ in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür?

Der Ball

Satz

Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Fußball auf dem Anstoßpunkt. Wenn ein Tor erzielt wird, so wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt zurückgesetzt. In dieser Situation gilt:

Es gibt mindestens zwei (gegenüber liegende) Punkte auf dem Fußball (seiner Oberfläche), die beim Neuanstoß genau dort liegen, wo sie am Spielanstoß lagen. Die Gesamtbewegung des Balles lässt sich durch eine Achsendrehung realisieren.

Beweis

Die Gesamtbewegung ist eine lineare Isometrie, daher folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$

Das Tor

Aufgabe *

Wenn Karl an Susanne denkt, bekommt er feuchte Hände, einen Kloß im Hals und einen roten Kopf. Einen roten Kopf bekommt er genau dann, wenn er an Susanne denkt oder wenn er das leere Tor nicht trifft. Wenn Karl das leere Tor trifft, bekommt er feuchte Hände. Karl bekommt den Ball vor dem leeren Tor. Kurz darauf bekommt er feuchte Hände, einen roten Kopf, aber keinen Kloß im Hals. Hat er an Susanne gedacht? Hat er das leere Tor getroffen?

Beispiel

Wir betrachten zu einem Fußballspiel die Abbildung, die jedem Tor, das die Mannschaft ${}A$ erzielt hat, den zugehörigen Torschützen zuordnet. Es gebe keine Eigentore und keine Auswechslungen, die Tore von ${}A$ werden mit ${}1,2,\ldots ,n$ durchnummeriert. Dann liegt eine Abbildung

$\psi \colon \{1,\ldots ,n\}\longrightarrow A=\{{\text{Spieler }}1,\,{\text{Spieler }}2,\ldots ,{\text{Spieler }}11\}$

mit

$\psi (i)={\text{ derjenige Spieler, der das }}i{\text{-te Tor geschossen hat}}\,.$

Die Injektivität von ${}\psi$ bedeutet, dass jeder Spieler höchstens ein Tor geschossen hat, und die Surjektivität bedeutet, dass jeder Spieler mindestens ein Tor geschossen hat.

Aufgabe

Mustafa Müller und Heinz Ngolo waren beim Spiel Borussia Dortmund gegen Bayern München. Zum Glück hat Dortmund ${}5$ zu ${}2$ gewonnen, daher ist gute Stimmung im Fanbus auf der Heimreise. Die Torfolge war

$0:1,1:1,2:1,2:2,3:2,{\text{Halbzeit}},4:2,5:2.$

Die beiden überlegen sich die folgenden Fragen.

1. Wie viele mögliche Torreihenfolgen gibt es bei einem ${}5:2$-Sieg?
2. Wie viele mögliche Torreihenfolgen gibt es bei einem ${}5:2$-Sieg, wenn man noch die Halbzeit mitberücksichtigt?

Aufgabe *

Der VfB Stuttgart spielt gegen Bayern München und gewinnt auch in dieser Höhe verdient mit ${}8:3$.

1. Wie viele Möglichkeiten für die Torreihenfolge gibt es?
2. Wie viele Möglichkeiten für den Spielverlauf gibt es, wenn man unter Spielverlauf die Torreihenfolge und den Halbzeitstand versteht.
3. Das Spiel dauerte genau ${}90$ Minuten und in jeder Minute fiel höchstens ein Tor. Wie viele Möglichkeiten für den Spielverlauf gibt es, wenn man darunter versteht, welche Mannschaft in welcher Minute ein Tor geschossen hat (hier genügt eine Formel)?
4. Wie viele Möglichkeiten für die Torreihenfolge gibt es, wenn man weiß, dass Stuttgart, abgesehen vom anfänglichen ${}0:0$, stets in Führung lag.

Die folgende Aufgabe gehört eher zur Analysis II.

Aufgabe *

Wir betrachten ein Ballspiel, bei dem das Tor durch die Eckpfosten ${}(-1,0)$ und ${}(1,0)$ gegeben ist. Der Ball (bzw. der ballführende Spieler) befindet sich in der variablen Position ${}(x,y)$. Die Wahrscheinlichkeit, von einer bestimmten Position aus ein Tor zu erzielen, hänge direkt vom Winkel (Torschusswinkel) ab, der das Dreieck ${}(-1,0),(1,0),(x,y)$ im Punkt ${}(x,y)$ besitzt (man denke an die Situation, wo der Spieler allein vor dem leeren Tor steht und es allein auf die Zielgenauigkeit ankommt).

1. Erstelle eine Formel für den Torschusswinkel in Abhängigkeit von der Ballposition ${}(x,y)$.
2. Skizziere die Menge der Punkte, für die der Toreinschusswinkel gleich ${}90$ Grad ist.
3. In welche Richtung muss der Ball bewegt werden, damit der Torschusswinkel möglichst schnell wächst?

Die Gruppenphase

Ein Turnier führt sowohl zu einem ungerichteten Graphen (Spielrelation) als auch zu einem gerichteten Graphen (Gewinnrelation).

Beispiel

Eine (Fußball-)Spielgruppe bei einer Europa- oder Weltmeisterschaft besteht aus vier Mannschaften, und jede spielt gegen jede. Ein Spiel kann unentschieden oder mit einem Sieg für eine der beiden Mannschaften enden. Wir interessieren uns für die Gewinnrelation in einer Spielgruppe, die man durch einen gerichteten Graphen beschreiben kann, wobei man einen Sieg von ${}A$ über ${}B$ durch einen Pfeil von ${}A$ nach ${}B$ (und ein Unentschieden durch keine Verbindung) ausdrücken kann.

Aufgabe

Klassifiziere (bis auf Isomorphie) die möglichen Gewinnstrukturen bei einer Vierergruppe (wie bei einer Fußballweltmeisterschaft).

Eine (abstrakte) WM-Gruppe ist im Folgenden eine Gewinnrelation auf einer vierelementigen Menge.

1. Überlegen Sie sich Eigenschaften, die für das strukturelle Verständnis von WM-Gruppen relevant sind. Beziehen sich die Eigenschaften auf die Gruppe als Ganzes oder auf einzelne Teams in der Gruppe?
2. Denken Sie sich Bezeichnungen für Eigenschaften aus, die Sie für das Verständnis von strukturellen Eigenschaften von WM-Gruppen relevant finden.
3. Können Sie sich unter den folgenden Begriffen etwas vorstellen, wie würden Sie diese Begriffe definieren? Eine hierarchische Gruppe. Ein dominantes Element (oder Team) in einer Gruppe. Ein neutrales Element, ein rezessives Element. Ein (paradoxer) Zyklus in einer Gruppe. Äquivalente Teams. Eine geordnete Gruppe. Eine ausgeglichene Gruppe. Eine transitive Gruppe. Ein Automorphismus (oder Selbst-Isomorphismus).
4. Was ist mit einer numerischen Invariante einer WM-Gruppe gemeint?
5. Kann man aus der Punktabschlusstabelle (in der ${}3-1-0$-Zählweise) einer WM-Gruppe die Gesamtanzahl der Siege ablesen? Gibt es dafür eine Formel?
6. Kann es die folgenden Punktabschlusstabellen geben?

   $5-5-4-3,$

   $5-5-4-1,$

   $5-5-4-0,$

   $5-5-5-2.$

7. Finden Sie ein Beispiel für Gruppen, die zueinander nicht isomorph sind, die aber die gleiche Punktabschlusstabelle besitzen.
8. In einer Punktabschlusstabelle besitze ein Team ${}3$ Punkte. Kann man aus der Punktabschlusstabelle erschließen, ob dieses Team einmal gewonnen (und zweimal verloren) oder dreimal unentschieden gespielt hat?
9. Welche abstrakten WM-Gruppen (welcher Isomorphietyp) kommen historisch besonders häufig vor? Wie kann man das erklären?

Aufgabe

Drücke für die Gruppe ${}C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016 die Gewinnstruktur als eine Relation, durch ein Pfeildiagramm (einen gerichteten Graphen) und durch eine Adjazenzmatrix aus.

Aufgabe

Erstelle für die Gruppe ${}C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016 die stochastische Matrix, die sich aus der erweiterten Adjazenzmatrix zur Gewinnstruktur ergibt, bei der in der Diagonalen überall Einsen (Selbstsieg) stehen (damit keine Nullspalte auftritt). Wie lautet die zugehörige Eigenverteilung?

Aufgabe

In einer Fußballgruppe mit ${}n$ Mannschaften (beispielsweise einer EM-Gruppe oder einer Bundesligahinrunde) spielt jede Mannschaft gegen jede andere Mannschaft, bei einem Sieg gibt es 3 Punkte, bei einem Unentschieden 1 Punkt und bei einer Niederlage keinen Punkt. Die Ergebnisse werden in einer ${}n\times n$-Matrix derart verbucht, dass der Eintrag an der Stelle ${}(M,N)$ angibt, wie viele Punkte die Mannschaft ${}M$ im Spiel gegen ${}N$ erzielt hat (an der Stelle ${}(M,M)$ steht ${}0$). Welcher Vektor kommt heraus, wenn man diese Matrix auf den Vektor ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$ anwendet? Erstelle diese Matrix für die Gruppe ${}C$ der Fußball-Europameisterschaft 2016.

Das KO-System

Aufgabe

Ein Pokalwettbewerb werde mit ${}2^{n+1}$ Mannschaften im KO-System ausgetragen. Beweise die Identität

${}\sum _{k=0}^{n}2^{k}=2^{n+1}-1\,$

durch eine inhaltliche Überlegung (Wie viele Spiele finden statt?).

Aufgabe

Ein Turnier findet mit ${}8$ Mannschaften im KO-System statt. Es sei ${}G$ der Graph zu der Mannschaftenmenge, bei dem zwei Mannschaften verbunden werden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Skizziere den Graphen überschneidungsfrei und derart, dass gleicherfolgreiche Mannschaften auf einem Level (einer Höhe) liegen. Beispielsweise sollen die beiden Halbfinalverlierer auf dem gleichen Level liegen.

Aufgabe *

Es findet ein Turnier mit ${}16$ Mannschaften im KO-System statt. Der zugehörige Graph ${}G$ verbindet zwei Mannschaften, wenn sie gegeneinander spielen.

1. Was ist der Minimalgrad und was ist der Maximalgrad des Graphen?
2. In wie vielen Punkten wird der Minimalgrad und in wie vielen Punkten wird der Maximalgrad angenommen?
3. Was ist der Durchmesser von ${}G$?
4. Was ist der Radius von ${}G$ und was ist die Exzentrizität der Gewinners?

Aufgabe

Wir sind mitten in der WM, das Viertelfinale steht fest und beginnt morgen. Die Zeitung druckt den folgenden Restspielplan (ohne Spiel um Platz 3) ab.

Viertelfinale

${\text{ VF1 }}:\,\,\,{\underline {\text{ Arg }}}\,\,\,-\,\,\,{\underline {\text{ Deu }}}$

${\text{ VF2 }}:\,\,\,{\underline {\text{ Usb }}}\,\,\,-\,\,\,{\underline {\text{ Bra }}}$

${\text{ VF3 }}:\,\,\,{\underline {\text{ Eng }}}\,\,\,-\,\,\,{\underline {\text{ Kapv }}}$

${\text{ VF4 }}:\,\,\,{\underline {\text{ Fra }}}\,\,\,-\,\,\,{\underline {\text{ Cur }}}$

Halbfinale

${\text{ HF1 }}:\,\,\,{\text{ Sieger VF1 }}\,\,\,{\underline {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}\,\,\,-\,\,\,{\text{ Sieger VF2 }}\,\,\,{\underline {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}$

${\text{ HF2 }}:\,\,\,{\text{ Sieger VF3 }}\,\,\,{\underline {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}\,\,\,-\,\,\,{\text{ Sieger VF4 }}\,\,\,{\underline {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}$

Finale

${\text{ Finale }}:\,\,\,{\text{ Sieger HF1 }}\,\,\,{\underline {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}\,\,\,-\,\,\,{\text{ Sieger HF2 }}\,\,\,{\underline {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}$

Wir interpretieren die Begegnungsstriche ${}-$ als Kanten in einem Graphen ${}G$.

1. Was ist die Knotenmenge in ${}G$? Skizziere den Graphen allein mit Punkten und Kanten (ohne jede Bennenung)!
2. Was sind die Zusammenhangskomponenten von ${}G$? Ist der Graph bipartit?
3. Einige Tage später steht das Finale an. Der Spielplan wurde zwischenzeitlich ergänzt, die unteren Zeilen sehen jetzt so aus (die oberen Zeilen aus dem Viertefinale sind unverändert da).

   $\,$

   
   

   Halbfinale

   ${\text{ HF1 }}:\,\,\,{\text{ Sieger VF1 }}\,\,\,{\underline {\text{ Deu }}}\,\,\,-\,\,\,{\text{ Sieger VF2 }}\,\,\,{\underline {\text{ Usb }}}$

   ${\text{ HF2 }}:\,\,\,{\text{ Sieger VF3 }}\,\,\,{\underline {\text{ Kapv }}}\,\,\,-\,\,\,{\text{ Sieger VF4 }}\,\,\,{\underline {\text{ Cur }}}$

   Finale

   ${\text{ Finale }}:\,\,\,{\text{ Sieger HF1 }}\,\,\,{\underline {\text{ Deu }}}\,\,\,-\,\,\,{\text{ Sieger HF2 }}\,\,\,{\underline {\text{ Cur }}}$

   Hat sich der Graph ${}G$ verändert?

4. Es sei nun ${}\sim$ die Äquivalenzrelation auf ${}G$, bei der Knotenpunkte zueinander äquivalent sind, wenn sie durch die gleiche Mannschaft besetzt sind. Skizziere den Quotientengraphen  ${}H=G/\sim$  überschneidungsfrei!
5. Ist der Graph ${}H$ zusammenhängend? Ist er bipartit?
6. Bestimme die Automorphismengruppe von ${}H$!

Aufgabe

Ein Turnier werde im KO-System mit ${}2^{n}$ Mannschaften ausgetragen, jedes Spiel endet also mit einem Gewinner und einem Verlierer und der Verlierer scheidet direkt aus (es gebe kein Spiel um Platz drei oder ähnliches). Das Turnier sei vorbei. Die Gewinnrelation ${}xRy$ für zwei Mannschaften ${}x,y$ liegt genau dann vor, wenn ${}x$ gegen ${}y$ (gespielt und) gewonnen hat. Es sei ${}T_{1}$ ein Turnier mit den beteiligten ${}2^{n}$ Mannschaften ${}M_{1}$ und der Gewinnrelation ${}R_{1}$ auf ${}M_{1}$ und es ${}T_{2}$ ein Turnier mit den beteiligten ${}2^{n}$ Mannschaften ${}M_{2}$ und der Gewinnrelation ${}R_{2}$ auf ${}M_{2}$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung

$\varphi \colon M_{1}\longrightarrow M_{2}$

gibt, die bewirkt, dass ${}R_{1}$ und ${}R_{2}$ zueinander konjugiert-isomorph sind.

Die beiden folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf Konzepte der Prädikatenlogik.

Aufgabe

Ein Turnier werde im KO-System mit ${}2^{n}$ Mannschaften ausgetragen, jedes Spiel endet also mit einem Gewinner und einem Verlierer und der Verlierer scheidet direkt aus (es gebe kein Spiel um Platz drei oder ähnliches). Das Turnier sei vorbei. Zeige, dass man jede Mannschaft in der Prädikatenlogik allein mit der Gewinnrelation adressieren kann (je zwei Mannschaften sind also nicht elementar äquivalent).

Aufgabe *

Es sei ${}S$ das Symbolalphabet, das neben Variablen aus dem einzigen zweistelligen Relationssymbol ${}G$ besteht. Wir betrachten die KO-Runden (also ab dem Achtelfinale) der Fußballweltmeisterschaften von 2014 und von 2018, ohne das Spiel um Platz ${}3$, als ${}S$-Modelle, wobei wir ${}G$ als die Gewinnrelation interpretieren, d.h. ${}xGy$ besagt, dass ${}x$ gegen ${}y$ (gespielt und) gewonnen hat.

1. Welche der folgenden Relationen sind für die WM 2014 wahr: Brasilien G Deutschland, Deutschland G Brasilien, Deutschland G Argentinien, Mexiko G Japan.
2. Ist ${}\forall yxGy$ eine Charakterisierung des Weltmeisters?
3. Charakterisiere durch einen ${}S$-Ausdruck in der einen freien Variablen ${}x$, dass eine Mannschaft mindestens das Halbfinale erreicht hat.
4. Charakterisiere durch einen ${}S$-Ausdruck in der einen freien Variablen ${}x$, dass eine Mannschaft das Halbfinale, aber nicht das Finale erreicht hat.
5. Betrachte Schweden bei der WM 2018. Man gebe einen ${}S$-Ausdruck in der einen freien Variablen ${}x$, der Schweden charakterisiert.
6. Welche(n) Mannschaft(en) der WM 2014 erfüllt (erfüllen) den ${}S$-Ausdruck, der Schweden bei der WM 2018 charakterisiert?
7. Definiere einen ${}S$-Isomorphismus zwischen der WM 2014 und der WM 2018.
8. Ist dies auch ein Isomorphismus, wenn man das Spiel um Platz ${}3$ mitberücksichtigt?

Das Turnier

Aufgabe *

Bei der WM 2026 nehmen ${}48$ Mannschaften teil, zunächst in ${}12$ Gruppen zu je ${}4$ Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich ${}32$ Mannschaften für die weiterführenden Runden (aus jeder Gruppe mindestens ${}2$ und höchstens ${}3$), die im KO-System ausgeführt werden (wir ignorieren das Spiel um Platz ${}3$). Der zugehörige (Begegnungs-) Graph ${}G$ (den man erst vollständig nach dem Turnier beschreiben kann) besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollten. Ab Frageteil (3b) schließen wir das aus.

1. Wie viele Kanten besitzt der Graph höchstens?
2. Wie viele Mannschaften besitzen den Grad ${}4$?
3. Was ist der Minimalgrad und was ist der Maximalgrad des Graphen?
4. In wie vielen Punkten wird der Minimalgrad und in wie vielen Punkten wird der Maximalgrad angenommen?
5. Was ist der Durchmesser von ${}G$?
6. Was ist der Radius von ${}G$ und was ist die Exzentrizität der Gewinners?

Aufgabe *

Bei der WM 2026 nehmen ${}48$ Mannschaften teil, zunächst in ${}12$ Gruppen zu je ${}4$ Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich ${}32$ Mannschaften für die weiterführenden Runden (aus jeder Gruppe mindestens ${}2$ und höchstens ${}3$), die im KO-System ausgeführt werden (wir ignorieren das Spiel um Platz ${}3$). Der zugehörige (Begegnungs-) Graph ${}G$ (den man erst vollständig nach dem Turnier beschreiben kann) besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollten.

1. Kann es außer den Vorrundengruppen einen Untergraphen mit vier Mannschaften geben, der vollständig ist?
2. Kann man die vollen Untergraphen zu den Vorrundengruppen graphentheoretisch identifizieren?

Turnierplanung

Aufgabe

Bei der Fußball-Europameisterschaft 2016 qualifizieren sich die vier besten Drittplatzierten (der Vorrundengruppen A,B,C,D,E,F) für das Achtelfinale, und zwar nach dem Schema

${\text{ Sieger Gruppe }}D{\text{ spielt gegen einen Dritten aus }}(B,E,F),$

${\text{ Sieger Gruppe }}B{\text{ spielt gegen einen Dritten aus }}(A,C,D),$

${\text{ Sieger Gruppe }}C{\text{ spielt gegen einen Dritten aus }}(A,B,F),$

und

${\text{ Sieger Gruppe }}A{\text{ spielt gegen einen Dritten aus }}(C,D,E).$

1. Zeige, dass dies stets durchführbar ist.
2. Bestimme (abhängig von der Reihenfolge der Drittplatzierten) die minimale Anzahl an Möglichkeiten für die Aufteilung der Drittplatzierten.
3. Bestimme (abhängig von der Reihenfolge der Drittplatzierten) die maximale Anzahl an Möglichkeiten für die Aufteilung der Drittplatzierten.

Heimvorteil

Aufgabe *

Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.

Jahr	Gastgeber	Weltmeister
${}1970$	${}{\text{Mexiko}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}1974$	${}{\text{Deutschland}}$	${}{\text{Deutschland}}$
${}1982$	${}{\text{Spanien}}$	${}{\text{Italien}}$
${}1990$	${}{\text{Italien}}$	${}{\text{Deutschland}}$
${}1994$	${}{\text{USA}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2002$	${}{\text{Japan und Korea}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2010$	${}{\text{Südafrika}}$	${}{\text{Spanien}}$
${}2014$	${}{\text{Brasilien}}$	${}{\text{Deutschland}}$

Es sei ${}L=\{B,D,I,JuK,M,S,SA,U\}$ die Menge der Gastgeberländer und

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf ${}L$ eine Metrik derart, dass ${}L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass ${}\varphi$ eine starke Kontraktion ist?

Aufgabe *

Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014, aus mathematischen Gründen ohne 1998.

Jahr	Gastgeber	Weltmeister
${}1978$	${}{\text{Argentinien}}$	${}{\text{Argentinien}}$
${}1982$	${}{\text{Spanien}}$	${}{\text{Italien}}$
${}1986$	${}{\text{Mexiko}}$	${}{\text{Argentinien}}$
${}1990$	${}{\text{Italien}}$	${}{\text{Deutschland}}$
${}1994$	${}{\text{USA}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2002$	${}{\text{Japan und Korea}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2006$	${}{\text{Deutschland}}$	${}{\text{Italien}}$
${}2010$	${}{\text{Südafrika}}$	${}{\text{Spanien}}$
${}2014$	${}{\text{Brasilien}}$	${}{\text{Deutschland}}$

Es sei ${}L=\{A,B,D,I,JuK,M,S,SA,U\}$ die Menge der Gastgeberländer und

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf ${}L$ eine Metrik derart, dass ${}L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass ${}\varphi$ eine starke Kontraktion ist?

Aufgabe *

Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014.

Jahr	Gastgeber	Weltmeister
${}1978$	${}{\text{Argentinien}}$	${}{\text{Argentinien}}$
${}1982$	${}{\text{Spanien}}$	${}{\text{Italien}}$
${}1986$	${}{\text{Mexiko}}$	${}{\text{Argentinien}}$
${}1990$	${}{\text{Italien}}$	${}{\text{Deutschland}}$
${}1994$	${}{\text{USA}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}1998$	${}{\text{Frankreich}}$	${}{\text{Frankreich}}$
${}2002$	${}{\text{Japan und Korea}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2006$	${}{\text{Deutschland}}$	${}{\text{Italien}}$
${}2010$	${}{\text{Südafrika}}$	${}{\text{Spanien}}$
${}2014$	${}{\text{Brasilien}}$	${}{\text{Deutschland}}$

Es sei ${}L=\{A,B,D,F,I,JuK,M,S,SA,U\}$ die Menge der Gastgeberländer und

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf ${}L$ eine Metrik derart, dass ${}L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass ${}\varphi$ eine starke Kontraktion ist?

Informationsverarbeitung

Aufgabe *

Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften:

1. Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt.
2. Deutschland war schon viermal Weltmeister.
3. Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister.
4. Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister.

Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?

Aufgabe *

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze ${}1,2,3,4$ nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz ${}3$ bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften ${}A,B,C,D$ und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.

1. Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
2. Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
3. unter welcher nicht?

Die Liga

Aufgabe

Eine jährlich stattfindende Vereinsmeisterschaft führt zu einer (Meisterschafts)-Abbildung

$J\longrightarrow V,\,j\longmapsto m(j),$

wobei ${}J$ die endliche Menge der Jahre ist, in denen eine Meisterschaft durchgeführt wurde, ${}V$ die Menge der Vereine und ${}m(j)$ den Meisterverein des Jahres ${}j$ bezeichnet. Die Anzahl der gewonnenen Meisterschaften führt zu einer Abbildung

$a_{j}\colon V\longrightarrow \mathbb {N} ,\,v\longmapsto a_{j}(v)={\#\left(\left\{i\in J\mid m(i)=v,\,i\leq j\right\}\right)}.$

Ein Verein ${}v$ heißt Rekordmeister im Jahr ${}j\in J$, wenn ${}a_{j}(v)\geq a_{j}(w)$ für alle ${}w\in V$ ist. Die Rekordmeisterabbildung ist die Abbildung

$J\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(V),\,j\longmapsto R^{(1)}(j),$

mit

$R^{(1)}(j)=\left\{v\in V\mid v{\text{ ist Rekordmeister im Jahr }}j\right\}$

und die zugehörige Anzahl der gewonnenen Rekordmeisterschaften führt zur Rekordmeisterschaftsanzahl

$a_{j}^{(1)}\colon V\longrightarrow \mathbb {N} ,\,v\longmapsto a_{j}^{(1)}(v)={\#\left(\left\{i\in J\mid v\in R^{(1)}(i),\,i\leq j\right\}\right)}.$

Durch diese Anzahl kann man wiederum die Menge der Rekordrekordmeister ${}R^{(2)}(j)$ im Jahr ${}j$ definieren und damit wiederum die Anzahlfunktion ${}a_{j}^{(2)}(v)$ der Rekordrekordmeister, die zum Rekordrekordrekordmeister (${}{\text{Rekord}}^{(3)}-{\text{Meister}}$) führt, usw.

1. Wer ist 2015 Rekordrekordmeister im Fußball der Männer?
2. Erstelle eine Liste sämtlicher ${}{\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ im Fußball der Männer.
3. Begründe, dass ein ${}{\text{Rekord}}^{(n+1)}-{\text{Meister}}$ mindestens einmal ${}{\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ gewesen sein muss.
4. Zeige, dass es zu jedem (möglichen) geschichtlichen Verlauf ein ${}n$ derart gibt, dass die erste Meisterschaftsmannschaft der jetzige ${}{\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ ist.