Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe,  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe und ${}\sim _{H}$ die durch ${}H$ auf ${}G$ definierte Relation. Dann liegt eine Äquivalenzrelation vor, und die Äquivalenzklasse zu ${}0$ ist gerade ${}H$.
2. Es sei ${}R$ ein kommutativer Halbring und seien  ${}x_{1},\ldots ,x_{k}\in R$  Elemente und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann ist

   ${}{\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}=\sum _{r_{1}+\cdots +r_{k}=n}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}\,.$

3. Es sei ${}A$ eine ${}n$-elementige Menge und ${}B$ eine ${}k$-elementige Menge. Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von ${}A$ nach ${}B$ gleich

   $\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{\binom {k}{j}}j^{n}.$

Zur gelösten Aufgabe