Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}M$ eine Menge und ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ mit der Quotientenmenge ${}M/\sim$. Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow W$ eine Abbildung mit  ${}\varphi (x)=\varphi (y)$  für alle ${}x,y\in M$ mit ${}x\sim y$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung ${}{\overline {\varphi }}\colon M/\sim \,\,\rightarrow W$ mit  ${}\varphi ={\overline {\varphi }}\circ q$. 
2. Es sei ${}n\in \mathbb {N}$. Der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ ist genau dann ein Körper, wenn ${}n$ eine Primzahl ist.
3. Es sei ${}A$ eine ${}n$-elementige Menge und ${}B$ eine ${}k$-elementige Menge. Dann ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von ${}A$ nach ${}B$ gleich

   $\sum _{(r_{1},\ldots ,r_{k}):\,r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{k}=n,\,r_{j}\geq 1}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}.$

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