Diskreter Bewertungsring/Einführung/Beispiele/Charakterisierung/Textabschnitt

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Definition  

Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.



Lemma

Ein diskreter Bewertungsring ist

ein lokaler, noetherscher Hauptidealbereich mit genau zwei Primidealen, nämlich und dem maximalen Ideal .

Beweis

Ein diskreter Bewertungsring ist kein Körper. In einem Hauptidealbereich, der kein Körper ist, wird jedes maximale Ideal von einen Primelement erzeugt, und die Primerzeuger zu verschiedenen maximalen Idealen können nicht assoziiert sein. Also gibt es genau ein maximales Ideal. Ebenso wird jedes von null verschiedene Primideal durch ein Primelement erzeugt, so dass es neben dem maximalen Ideal nur noch das Nullideal gibt.



Beispiel  

Es sei ein Körper, der Polynomring und die Lokalisierung am maximalen Ideal . Dann ist ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von sind , und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich .



Beispiel  

Es sei eine Primzahl und sei die Lokalisierung am maximalen Ideal . Dann ist ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von sind , und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich .



Definition  

Zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring mit Primelement heißt die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von . Sie wird mit bezeichnet.

Die Ordnung ist also nichts anderes als der Exponent zum (bis auf Assoziiertheit) einzigen Primelement in der Primfaktorzerlegung. Sie hat folgende Eigenschaften.


Lemma

Sei ein diskreter Bewertungsring mit maximalem Ideal .

Dann hat die Ordnung

folgende Eigenschaften.

  1. .
  2. .
  3. genau dann, wenn .
  4. genau dann, wenn .

Beweis

Siehe Aufgabe.


Wir wollen eine wichtige Charakterisierung für diskrete Bewertungsringe beweisen, die insbesondere beinhaltet, dass ein normaler lokaler Integritätsbereich mit genau zwei Primidealen bereits ein diskreter Bewertungsring ist. Dazu benötigen wir einige Vorbereitungen.



Lemma  

Sei ein noetherscher lokaler kommutativer Ring. Es sei vorausgesetzt, dass das maximale Ideal das einzige Primideal von ist.

Dann gibt es einen Exponenten mit

Beweis  

Wir behaupten zunächst, dass jedes Element in eine Einheit oder nilpotent ist. Sei hierzu keine Einheit. Dann ist . Angenommen, ist nicht nilpotent. Dann gibt es nach Aufgabe ein Primideal in mit . Damit ergibt sich der Widerspruch .

Es ist also jedes Element im maximalen Ideal nilpotent. Insbesondere gibt es für ein endliches Erzeugendensystem von eine natürliche Zahl mit für alle . Sei . Dann ist ein beliebiges Element aus von der Gestalt

Ausmultiplizieren ergibt eine Linearkombination mit Monomen und , so dass ein mit einem Exponenten vorkommt. Daher ist das Produkt .




Satz  

Sei ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist ein diskreter Bewertungsring.
  2. ist ein Hauptidealbereich.
  3. ist faktoriell.
  4. ist normal.
  5. ist ein Hauptideal.

Beweis  

folgt direkt aus der Definition.

folgt aus der allgemeinen Aussage, dass jeder Hauptidealbereich faktoriell ist.

folgt aus Fakt.

. Sei , . Dann ist ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ). Daher gibt es nach Fakt ein mit . Zurückübersetzt nach heißt das, dass gilt. Wir wählen minimal mit den Eigenschaften

Wähle mit und betrachte

(es ist ). Das Inverse, also , gehört nicht zu , sonst wäre . Da nach Voraussetzung normal ist, ist auch nicht ganz über . Nach dem Modulkriterium Fakt für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal die Beziehung

ist. Nach Wahl von ist aber auch

Daher ist ein Ideal in , das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist . Das heißt einerseits und andererseits gilt für ein beliebiges die Beziehung , also , also und somit .

. Sei . Dann ist ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Sei , keine Einheit. Dann ist und daher . Dann ist eine Einheit oder . Im zweiten Fall ist wieder und .

Wir behaupten, dass man mit einer Einheit schreiben kann. Andernfalls könnte man mit beliebig großem schreiben. Nach Fakt gibt es ein mit . Bei ergibt sich und der Widerspruch .

Es lässt sich also jede Nichteinheit als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ist mit Einheiten . Dann sieht man leicht, dass ist mit .