Diskreter Bewertungsring/Zwischenringe im Quotientenkörper/Aufgabe/Lösung

Es sei  ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$  in ${}R$, der Quotientenkörper ist  ${}Q(R)=R_{\pi }$,  und dort besitzt jedes Element außer der ${}0$ die Form ${}u\pi ^{n}$ mit ${}u$ eine Einheit in ${}R$ und  ${}n\in \mathbb {Z}$.  Es sei

${}R\subset T\subseteq Q(R)\,.$

Dann gibt es ein Element  ${}u\pi ^{n}\in T$  mit ${}n$ negativ. Doch dann ist auch  ${}\pi ^{n}\in T$  und auch

${}\pi ^{-1}=\pi ^{-n-1}\cdot \pi ^{n}\in T\,,$

also

 ${}T=Q(R)$. 

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