Dreiecksungleichung p-Konvexität

Einleitung

Diese Lerneinheit betrachtet den Zusammenhang zwischen der $p$ -Konvexität einer kreisförmigen Nullumgebung und der Gültigkeit der Dreiecksungleichung. Dabei wird der zugehörige Beweis ohne Verwendung der Trennungseigenschaften in einem topologischen Vektorraum geführt.

Dreiecksungleichung der p-Norm

Die Dreiecksungleichung ist eine Eigenschaft von Normen und $p$ -Normen bzw. Halbnormen und p-Halbnormen. Die Konvexität bzw. p-Konvexität liefern diese Eigenschaft für die zugeörigen Mengen.

Dreiecksungleichung als Eigenschaft einer p-Norm bzw. p-Halbnorm

Eine $p$ -Norm auf einem $\mathbb {C}$ -Vektorraum $V$ ist eine Funktion $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R}$ , die die folgenden Eigenschaften erfüllt:

(PN1) $\|x\|\geq 0$ für alle $x\in V$ und $\|x\|=0$ genau dann, wenn $x$ der Nullvektor ist (d.h. $x=0_{_{V}}$ ).
(PN2) $\|\lambda \cdot x\|=|\lambda |^{p}\cdot \|x\|$ für alle $x\in V$ und $\lambda \in \mathbb {C}$ .
(PN3) $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ für alle $x,y\in V$ (Dreieckungleichung).

Gilt (PN1) nicht, so nennt $\|\cdot \|:V\to \mathbb {R}$ p-Halbnorm. (PN3) ist die Eigenschaft, die in dieser Lerneinheit genauer untersucht wird.

Punktetrennung durch p-Norm

Mit der Eigenschaft (PN1) kann man die Punkte im Vektorraum trennen und mit der $p$ -Norm messen, dass zwei Punkte/Vektoren $v_{1},v_{2}\in V$ verschieden sind, denn:

v_{1}\not =v_{2}\Longrightarrow v_{1}-v_{2}\not =0_{_{V}}\Longrightarrow \|v_{1}-v_{2}\|>0

Kreisförmigkeit der Nullumgebung

In einem topologischen Vektorraum gibt es immer eine Nullumgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. Die Kreisförmigkeit der Nullumgebung liefert zusätzlich zum folgenden Lemma auch die absolute $p$ -Homogenität des Minkowski-Funktionals (PN2). Für einen lokalbeschränkten topologischen Vektorraum

Lemma - Dreiecksungleichung und p-Konvexität

Sei ${\textstyle (V,{\mathcal {T}})}$ ein topologischer Vektorraum mit Topologie ${\mathcal {T}}$ und $U\subset V$ eine absolut $p$ -konvexe Nullumgebung und $\|\cdot \|_{_{U}}:V\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ das zugehörige Minkowski-Funktional, dann erfüllt das $p$ -Gaugefunktional $\|\cdot \|_{p}$ mit $\|x\|_{p}:={\|x\|_{_{U}}}^{p}$ für alle $x\in V$ die Dreiecksungleichung für alle $x,y\in V$ :

\|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p}

Beweis

Um zu zeigen, dass die Dreieckungleichung für das Minkowski-Funktional $p_{_{U}}:V\to \mathbb {R} _{0}^{+}$ gilt, wenn die Menge $U$ des Minkowski-Funktionals p-konvex ist, müssen wir einige grundlegende Definitionen und Eigenschaften von p-konvexen Mengen und p-Normen betrachten.

Beweisschritt 1 - p-konvexe Menge

Eine Menge $U$ in einem Vektorraum $V$ heißt p-konvex für ein $p\in (0,1]$ , wenn für alle $x,y\in U$ und alle $\lambda ,\mu \geq 0$ mit $\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1$ gilt, dass $\lambda x+\mu y\in U$ . Da der Nullvektor $0_{_{V}}\in U$ enthalten ist, gilt auch für alle $x\in U$ , dass mit $\lambda \leq 1$ auch $\lambda ^{p}\leq 1$ erfüllt ist. Wählt man $\mu :=(1-\lambda ^{p})^{\frac {1}{p}}$ , dann liefert die Gleichung $\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1$ auch $\lambda \cdot x=\lambda \cdot x+\mu \cdot 0_{_{V}}\in U$ .

Beweisschritt 2 - Minkowski-Funktional und p-Gaugefunktional

Das Minkowski-Funktional $\|\cdot \|_{_{U}}$ einer Menge $U$ ist definiert durch

\|x\|_{_{U}}:=\inf\{\lambda >0\mid x\in \lambda \cdot U\}.

Mit dem Minkowski-Funktional $\|\cdot \|_{_{U}}$ definiert man das $p$ -homogene $p$ -Gaugefunktional wie folgt:

\|x\|_{p}:={\|x\|_{_{U}}}^{p}:={\big (}\inf\{\lambda >0\mid x\in \lambda \cdot U\}{\big )}^{p}.

Beweisschritt 3 - Wohldefiniertheit des Minkowski-Funktionals

Das Minkowski-Funktional gibt die größste untere Schranke von positiven reellen Zahlen $\lambda$ an, mit der eine mit $\lambda >0$ "aufgeblasene" Nullumgebung $U$ gerade noch ein $x$ einfängt. Da Nullumgebungen in einem topologischen Vektorraum auch absorbierend sind, ist das folgende Minkowski-Funktional wohldefiniert.

\|x\|_{_{U}}=\inf\{\lambda >0\mid x\in \lambda U\}.

Ferner gilt $\|x\|_{p}\leq 1$ genau dann, wenn $\|x\|_{_{U}}\leq 1$ gilt.

Beweisschritt 4 - Eigenschaft der Dreiecksungleichung

Sei $U$ eine p-konvexe Menge und $p_{U}$ das Minkowski-Funktional von $U$ . Man muss nun zeigen, dass die Dreiecksungleichung für $\|\cdot \|_{p}$ gilt.

Beweisschritt 5 - p-Konvexität der Nullumgebung und Kreisförmigkeit

Da $U$ p-konvex ist, gilt für alle $x,y\in U$ und alle $\lambda ,\mu \geq 0$ mit $\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1$ , dass $\lambda \cdot x+\mu \cdot y\in U$ . Wenn $U$ auch kreisförmig ist, gilt auch für alle $\lambda$ mit $|\lambda |\leq 1$ , dass mit $x\in U$ auch $\lambda \cdot x\in U$ erfüllt ist. Insgesamt erhält man damit auch:

{\underset {x,y\in U}{\forall }}\,\,\,\,\,\,{\underset {\lambda ,\mu \geq 0}{\forall }}\,\,\,\,\,\,\lambda ^{p}+\mu ^{p}\leq 1\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\lambda \cdot x+\mu \cdot y\in U

Diese Implikation verbindet die Kreisförmigkeit und p-Konvexität in einer Implikation.

Beweisschritt 6 - Dreiecksungleichung

Man muss nun zeigen, dass für alle $x,y\in V$ gilt:

\|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p}

Da das Minkowski-Funktional als Infimum definiert ist und eine Infimum nicht notwendigerweise auch angenommen wird, muss man in den folgenden Beweisschritten die Argumentation mit einem $\varepsilon >0$ umsetzen, damit die Elementbeziehung $x\in (\|x\|_{_{U}}+\varepsilon )\cdot U$ und $y\in (\|x\|_{_{U}}+\varepsilon )\cdot U$ auch erfüllt ist.

Beweisschritt 7 - Verwendung der absoluten p-Konvexität

Seien $x,y\in V$ und $\varepsilon >0$ . Dann werden $\lambda ,\mu >0$ so gewählt, dass $\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1$ gilt. Insbesondere erhält man damit auch, dass $\lambda ^{p}\leq 1$ und $\mu ^{p}\leq 1$ gilt. Darüber hinaus gilt damit auch $\lambda \leq 1$ und $\mu \leq 1$ . Mit der Definition des Minkowski-Funktionals. der Kreisförmigkeit von $U$ und der $p$ -Konvexität von $U$ liefert die folgende Elementbeziehung:

{\frac {1}{\|x\|_{_{U}}+\varepsilon }}\cdot x\in U\quad {\text{und}}\quad {\frac {1}{\|x\|_{_{U}}+\varepsilon }}\cdot y\in U.

Beweisschritt 8 - Wahl der Skalare für die absolute p-Konvexität

Mit $c:=(\|x\|_{_{U}}+\varepsilon )^{p}+(\|y\|_{_{U}}+\varepsilon )^{p}$ gilt auch $c>0$ , weil $\varepsilon >0$ für die Eigenschaft des Minkowski-Funktionals gewählt wurde. Man definiert nun $\lambda$ und $\mu$ wie folgt:

\lambda :={\frac {\|x\|_{_{U}}+\varepsilon }{c^{\frac {1}{p}}}}\quad \quad \mu :={\frac {\|y\|_{_{U}}+\varepsilon }{c^{\frac {1}{p}}}}

Damit hat man $\lambda ,\mu >0$ so gewählt, dass $\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1$ und mit der $p$ -Konvexität von $U$ auch $\lambda \cdot x+\mu \cdot y\in U$ gilt.

Beweisschritt 9 - p-Konvexkombination der Elemente

Da $U$ nach Voraussetzung absolut $p$ -konvex und $\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1$ ist, gilt für $u_{1},u_{2}\in U$ :

\lambda \cdot u_{1}+\mu \cdot u_{2}\in U\qquad u_{1}:={\frac {x}{\|x\|_{_{U}}+\varepsilon }}\qquad u_{2}:={\frac {y}{\|x\|_{_{U}}+\varepsilon }}

Weil das Minkowski-Funktional als Infimum gebildet wird, gilt damit:

\|\lambda \cdot u_{1}+\mu \cdot u_{2}\|_{_{U}}\leq 1=\lambda ^{p}+\mu ^{p}={\frac {(\|x\|_{_{U}}+\varepsilon )^{p}}{c}}+{\frac {(\|y\|_{_{U}}+\varepsilon )^{p}}{c}}

Analog zum Topologisierungslemma erhält man in Bezug auf die Stetigkeit der Addition vor.

Beweisschritt 10 - Abschätzung des Minkowski-Funktionals

Man betrachtet nun $x+y$ und analysiert, in welcher Menge $x+y$ in Bezug auf $U$ enthalten ist. Dabei wird die $p$ -Konvexität mit $\lambda ^{p}+\mu ^{p}=1$ verwendet.

{\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {x+y}{c^{\frac {1}{p}}}}&=&\displaystyle {\frac {x}{c^{\frac {1}{p}}}}+{\frac {y}{c^{\frac {1}{p}}}}\\&=&\underbrace {\left({\frac {\|x\|_{_{U}}+\varepsilon }{c^{\frac {1}{p}}}}\right)} _{=\lambda }\cdot \underbrace {\frac {x}{\|x\|_{_{U}}+\varepsilon }} _{=u_{1}\in U}+\underbrace {\left({\frac {\|y\|_{_{U}}+\varepsilon }{c^{\frac {1}{p}}}}\right)} _{=\mu }\cdot \underbrace {\frac {y}{\|y\|_{_{U}}+\varepsilon }} _{=u_{2}\in U}\in U\\\end{array}}

Weil das Minkowski-Funktional als Infimum gebildet wird, gilt damit $\left\|{\frac {x+y}{c^{\frac {1}{p}}}}\right\|_{_{U}}\leq 1$ .

Beweisschritt 11 - Homogenität des Minkowski-Funktionals

Da die Menge $U$ kreisförmig ist, ist das zugehörige Minkowski-Funktional homogen und es gilt:

1\geq \left\|{\frac {x+y}{c^{\frac {1}{p}}}}\right\|_{_{U}}=\left|{\frac {1}{c^{\frac {1}{p}}}}\right|\cdot \left\|x+y\right\|_{_{U}}={\frac {1}{c^{\frac {1}{p}}}}\cdot \left\|x+y\right\|_{_{U}}

Mit der Definition $\|x\|_{p}:={\|x\|_{_{U}}}^{p}$ gilt $1\geq {\frac {1}{c}}\cdot \left\|x+y\right\|_{p}$ bzw. $\left\|x+y\right\|_{p}\leq c$ .

Beweisschritt 12 - Einsetzen der Konstante

Da die Konstante $c$ als $c:=(\|x\|_{_{U}}+\varepsilon )^{p}+(\|y\|_{_{U}}+\varepsilon )^{p}$ definiert war, erhält man durch Einsetzen in Beweisschritt 11 die folgende Ungleichung $\left\|x+y\right\|_{p}\leq c$ :

{\begin{array}{rcl}\left\|x+y\right\|_{p}&\leq &(\|x\|_{_{U}}+\varepsilon )^{p}+(\|y\|_{_{U}}+\varepsilon )^{p}\\\end{array}}

Da $\varepsilon >0$ beliebig gewählt worden war, gilt auch die Ungleichung:

{\begin{array}{rcl}\left\|x+y\right\|_{p}&\leq &(\|x\|_{_{U}})^{p}+(\|y\|_{_{U}})^{p}=\left\|x\right\|_{p}+\left\|y\right\|_{p}\\\end{array}}

Also gilt die Dreiecksungleichung für das $p$ -Gaugefunktional $\|\cdot \|_{p}$ , über das Minkowski-Funktional der absolut $p$ -konvexen Menge $U$ definiert wurde. $\quad \Box$

Beweisschritt 11 - Minkowski-Funktionals und p-Gaugefunktional

Weil das Minkowski-Funktional als Infimum gebildet wird, gilt mit $\delta :=\|x\|_{_{U}}+\|y\|_{_{U}}$ :

\left\|{\frac {x}{\delta }}\right\|_{_{U}}\leq 1\,\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,\left\|{\frac {y}{\delta }}\right\|_{_{U}}\leq 1\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,\left\|{\frac {x}{\delta }}\right\|_{p}=\left\|{\frac {x}{\delta }}\right\|_{_{U}}^{p}\leq 1\,\,\,\,\,\wedge \,\,\,\,\,\left\|{\frac {y}{\delta }}\right\|_{p}=\left\|{\frac {y}{\delta }}\right\|_{_{U}}^{p}\leq 1

Beweisschritt 12 - Minkowski-Funktionals und p-Gaugefunktional

{\begin{array}{rcl}{\frac {x}{\left\|x\right\|_{_{U}}+\varepsilon }}\in U\,\wedge \,{\frac {y}{\left\|y\right\|_{_{U}}+\varepsilon }}\in U&\Longrightarrow &{\frac {x}{\left\|x\right\|_{_{U}}+\left\|y\right\|_{_{U}}}},{\frac {y}{\left\|x\right\|_{_{U}}+\left\|y\right\|_{_{U}}}}\in U\\&\Longrightarrow &{\frac {x+y}{\left\|x\right\|_{_{U}}+\left\|y\right\|_{_{U}}}}\in U+U\subset U_{\alpha }\\&\Longrightarrow &\left\|{\frac {x+y}{\left\|x\right\|_{_{U}}+\left\|y\right\|_{_{U}}}}\right\|_{_{U}}\leq 1\Longrightarrow {\mbox{ Beh. (A4). }}\end{array}}

p_{U}(x+y)\leq p_{_{U}}(x)+p_{_{U}}(y)+2\epsilon .

Aufgabe

Damit wurdegezeigt, dass die Dreieckungleichung für das Minkowski-Funktional $p_{U}$ gilt, wenn die Menge $U$ $p$ -konvex ist. Die $p$ -Konvexität von $U$ garantiert, dass ein $p$ -Konvexkombination von Elementen in $U$ ebenfalls in $U$ liegt, was die Dreieckungleichung ermöglicht.

Siehe auch