Dualraum/Orthogonalraum/Durchschnitt und Summe/Aufgabe/Lösung

Sei ${}f=h+g$ mit ${}g\in U_{1}^{\perp }$ und ${}h\in U_{2}^{\perp }$. Für ${}v\in U_{1}\cap U_{2}$ ist somit

${}f(v)=g(v)+h(v)=0+0=0\,,$

also ist ${}f\in {\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }$.

Für die andere Inklusion sei ${}f\in {\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }$ und sei ${}W$ ein direktes Komplement von ${}U_{1}\cap U_{2}$ in ${}U_{1}$ und ${}T\subseteq V$ ein direktes Komplement von ${}U_{1}$ in ${}V$, also

${}U_{1}={\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\oplus W\,$

und

${}V=U_{1}\oplus T={\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}\oplus W\oplus T\,.$

Es sei ${}h$ die Gesamtabbildung

$V{\stackrel {p_{W}}{\longrightarrow }}W{\stackrel {}{\longrightarrow }}V{\stackrel {f}{\longrightarrow }}K.$

Dann ist ${}h$ eingeschränkt auf ${}U_{1}\cap U_{2}\oplus T$ die Nullabbildung und somit auch auf ${}U_{2}$ die Nullabbildung. Also ist ${}h\in U_{2}^{\perp }$.

Sei

${}g=f-h\,.$

Für ${}v\in U_{1}$ ist

${}v=u+w\,$

mit ${}u\in U_{1}\cap U_{2}$ und ${}w\in W$. Dabei ist

${}g(u)=f(u)-h(u)=0-0=0\,$

und

${}g(w)=f(w)-h(w)=f(w)-f(w)=0\,$

nach Definition von ${}h$. Also ist

${}g(v)=0\,$

und somit ${}g\in U_{1}^{\perp }$.

Zur gelösten Aufgabe