Dualraum/Orthogonalraum/Summe und Durchschnitt/Aufgabe/Lösung

Es bezeichne ${}f$ eine Linearform auf ${}V$. Es sei zunächst

${}f\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }\,.$

Dies bedeutet, dass ${}f{|}_{\left(U_{1}+U_{2}\right)}$ die Nullform ist. Dann ist erst recht ${}f{|}_{U_{1}}=0$ und ${}f{|}_{U_{2}}=0$, also

${}f\in U_{1}^{\perp }\cap U_{2}^{\perp }\,.$

Es gelte nun umgekehrt

${}f\in U_{1}^{\perp }\cap U_{2}^{\perp }\,.$

Dies bedeutet, dass ${}f$ eingeschränkt auf ${}U_{1}$ und auch eingeschränkt auf ${}U_{2}$ die Nullform ist. Für ${}u\in U_{1}+U_{2}$ kann man ${}u=u_{1}+u_{2}$ mit ${}u_{i}\in U_{i}$ schreiben, also ist ${}f(u)=0+0=0$. Daher ist ${}f$ eingeschränkt auf ${}U_{1}+U_{2}$ die Nullform und daher

${}f\in {\left(U_{1}+U_{2}\right)}^{\perp }\,.$

Zur gelösten Aufgabe