E7-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

$\left(2X,\,3Y^{2}+Z^{3},\,3YZ^{2}\right).$

Im Nullpunkt ${}(0,0,0)$ sind alle partiellen Ableitungen gleich ${}0$ und daher liegt eine Singularität vor. Wenn umgekehrt alle partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}(x,y,z)$ gleich ${}0$ sind, so ist (aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik) zunächst  ${}x=0$  und  ${}yz^{2}=0$.  Also ist  ${}y=0$  oder  ${}z=0$. 

Daraus folgt mit der mittleren partiellen Ableitung, dass auch die andere Variable gleich ${}0$ ist. Singulär liegt also nur im Nullpunkt vor.

Zur gelösten Aufgabe