E7-Singularität/Singulärer Punkt/Aufgabe/Lösung

Die partiellen Ableitungen sind

$(2X,3Y^2+Z^3,3Y{Z}^2).$

Im Nullpunkt $(0,0,0)$ sind alle partiellen Ableitungen gleich $0$ und daher liegt eine Singularität vor. Wenn umgekehrt alle partiellen Ableitungen in einem Punkt $(x,y,z)$ gleich $0$ sind, so ist (aufgrund der Voraussetzung an die Charakteristik) zunächst  $x=0$  und  $y{z}^2=0$.  Also ist  $y=0$  oder  $z=0$. 

Daraus folgt mit der mittleren partiellen Ableitung, dass auch die andere Variable gleich $0$ ist. Singulär liegt also nur im Nullpunkt vor.

Zur gelösten Aufgabe