Ebene Kurve/Singulärer Punkt/Tangenten/Grad 3/Bemerkung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei  ${}F\in K[X,Y]$  ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei  ${}P=(x,y)\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Indem man ${}F$ in den verschobenen Variablen ${}U=X-x,\,V=Y-y$ schreibt, so erhält man ein neues Polynom ${}H$ mit  ${}H(0,0)=0$.  Es sei

${}H=H_{m}+H_{m+1}+\cdots +H_{d}\,$

die homogene Zerlegung von ${}H$ mit $H_{m}\neq 0$ und $H_{d}\neq 0$,  ${}d\geq m$.  Dabei ist ${}d$ der Grad der Kurve und ${}m$ heißt die Multiplizität der Kurve im Punkt ${}P$. Die Kurve besitzt genau dann eine Singularität in ${}P$, wenn  ${}m\geq 2$  ist. Bei einer Faktorzerlegung  ${}H_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$  in lineare Faktoren, die eventuell erst nach einer endlichen Körpererweiterung vorliegt, nennt man die Geraden $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, die Tangenten an ${}C$ im Punkt ${}P$. Im kubischen Fall ist in einem singulären Punkt  ${}2\leq m\leq 3$,  wobei bei  ${}m=3$  keine irreduzible Kurve vorliegt. Im irreduziblen Fall ist  ${}2=m$  und dort gibt es eine Faktorzerlegung  ${}H_{2}=G_{1}G_{2}$,  wobei die beiden Faktoren gleich oder verschieden sein können.