Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^2 und Y^2 ist X^5/Aufgabe/Lösung

Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man für einen Schnittpunkt sofort die Bedingung

{}0=x-x^{5}=x(1-x^{4})\,.

Die ${}x$ -Koordinate eines Schnittpunktes ist also ${}x=0$ oder eine vierte Einheitswurzel, also ${}x=1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$ . Bei ${}x=0$ ergibt sich dofort ${}y=0$ . Den Restklassenring kann man schreiben als

{}K[X,Y]_{(X,Y)}/(X-Y^{2},Y^{2}-X^{5})=K[Y]_{(Y)}/(Y^{2}-Y^{10})=K[Y]_{Y}/(Y^{2}(1-Y^{8}))\,.

Da ${}1-Y^{8}$ in diesem lokalen Ring eine Einheit ist, handelt es sich um ${}K[Y]/(Y^{2})$ , so dass sich in ${}(0,0)$ die Schnittmultiplizität ${}2$ ergibt.

Sei nun ${}x$ eine vierte Einheitswurzel. Wegen ${}y^{2}=x$ muss ${}y$ eine achte Einheitswurzel sein. Wir bezeichnen mit ${}\zeta$ die erste primitive achte Einheitswurzel. Dann hat man die acht weiteren Schnittpunkte

(1,1),(1,-1),({\mathrm {i} },\zeta ),({\mathrm {i} },-\zeta ),(-1,{\mathrm {i} }),(-1,-{\mathrm {i} }),(-{\mathrm {i} },\zeta ^{3}),(-{\mathrm {i} },-\zeta ^{3}).

Wir zeigen, dass in all diesen Punkte der Schnitt transversal ist und daher die Schnittmultiplizität immer eins ist. Dazu berechnen wir allgemein die partiellen Ableitungen, also

\left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)=(1,-2Y){\text{ und }}\left({\frac {\partial G}{\partial X}},\,{\frac {\partial G}{\partial Y}}\right)=(-5X^{4},2Y).

In jedem der obigen acht Schnittpunkte ${}(x,y)$ sind wegen ${}x\neq 0$ beide Kurven glatt. Wegen ${}x^{4}=1$ hat der Ableitungsvektor rechts die Gestalt ${}(-5,2y)$ . Die Richtungstangenten der beiden Kurven können also nur dann linear abhängig sein, wenn ${}-2y=-10y$ ist, was wegen ${}y\neq 0$ nicht möglich ist.

Betrachten wir noch die unendlich fernen Punkte. Die Homogenisierungen sind ${}{\tilde {F}}=XZ-Y^{2}$ , so dass der einzige unendlich ferne Punkt auf ${}{\bar {C}}=V_{+}({\tilde {F}})$ ${}(1,0,0)$ ist, und ${}{\tilde {G}}=Y^{2}Z^{3}-X^{5}$ , so dass der einzige unendlich ferne Punkt auf ${}{\bar {D}}=V_{+}({\tilde {G}})$ ${}(0,1,0)$ ist. Diese Punkte sind verschieden, es gibt also keinen weiteren Schnittpunkt im Unendlichen.