Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^2 und Y^2 ist X^5/Aufgabe/Lösung

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Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man für einen Schnittpunkt sofort die Bedingung

Die -Koordinate eines Schnittpunktes ist also oder eine vierte Einheitswurzel, also . Bei ergibt sich dofort . Den Restklassenring kann man schreiben als

Da in diesem lokalen Ring eine Einheit ist, handelt es sich um , so dass sich in die Schnittmultiplizität ergibt.

Sei nun eine vierte Einheitswurzel. Wegen muss eine achte Einheitswurzel sein. Wir bezeichnen mit die erste primitive achte Einheitswurzel. Dann hat man die acht weiteren Schnittpunkte

Wir zeigen, dass in all diesen Punkte der Schnitt transversal ist und daher die Schnittmultiplizität immer eins ist. Dazu berechnen wir allgemein die partiellen Ableitungen, also

In jedem der obigen acht Schnittpunkte sind wegen beide Kurven glatt. Wegen hat der Ableitungsvektor rechts die Gestalt . Die Richtungstangenten der beiden Kurven können also nur dann linear abhängig sein, wenn ist, was wegen nicht möglich ist.

Betrachten wir noch die unendlich fernen Punkte. Die Homogenisierungen sind , so dass der einzige unendlich ferne Punkt auf ist, und , so dass der einzige unendlich ferne Punkt auf ist. Diese Punkte sind verschieden, es gibt also keinen weiteren Schnittpunkt im Unendlichen.

Die Gesamtsumme der Schnittmultiplizitäten ist demnach . Da die beteiligten Kurven den Grad und besitzen, stimmt das mit dem Produktgrad überein, was die Behauptung des Satzes von Bezout ist.