Ebene Kurven/Schnitt und Schnittmultiplizität/Y ist X^2 und Y^2 ist X^5/Aufgabe/Lösung

Durch Addition der beiden Gleichungen erhält man für einen Schnittpunkt sofort die Bedingung

${}0=x-x^{5}=x(1-x^{4})\,.$

Die ${}x$-Koordinate eines Schnittpunktes ist also  ${}x=0$  oder eine vierte Einheitswurzel, also  ${}x=1,-1,{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }$.  Bei  ${}x=0$  ergibt sich sofort  ${}y=0$.  Den Restklassenring kann man schreiben als

${}K[X,Y]_{(X,Y)}/(X-Y^{2},Y^{2}-X^{5})=K[Y]_{(Y)}/(Y^{2}-Y^{10})=K[Y]_{Y}/(Y^{2}(1-Y^{8}))\,.$

Da ${}1-Y^{8}$ in diesem lokalen Ring eine Einheit ist, handelt es sich um ${}K[Y]/(Y^{2})$, sodass sich in ${}(0,0)$ die Schnittmultiplizität ${}2$ ergibt.

Es sei nun ${}x$ eine vierte Einheitswurzel. Wegen  ${}y^{2}=x$  muss ${}y$ eine achte Einheitswurzel sein. Wir bezeichnen mit ${}\zeta$ die erste primitive achte Einheitswurzel. Dann hat man die acht weiteren Schnittpunkte

$(1,1),(1,-1),({\mathrm {i} },\zeta ),({\mathrm {i} },-\zeta ),(-1,{\mathrm {i} }),(-1,-{\mathrm {i} }),(-{\mathrm {i} },\zeta ^{3}),(-{\mathrm {i} },-\zeta ^{3}).$

Wir zeigen, dass in all diesen Punkte der Schnitt transversal ist und daher die Schnittmultiplizität immer eins ist. Dazu berechnen wir allgemein die partiellen Ableitungen, also

$\left({\frac {\partial F}{\partial X}},\,{\frac {\partial F}{\partial Y}}\right)=(1,-2Y){\text{ und }}\left({\frac {\partial G}{\partial X}},\,{\frac {\partial G}{\partial Y}}\right)=(-5X^{4},2Y).$

In jedem der obigen acht Schnittpunkte ${}(x,y)$ sind wegen  ${}x\neq 0$  beide Kurven glatt. Wegen  ${}x^{4}=1$  hat der Ableitungsvektor rechts die Gestalt ${}(-5,2y)$. Die Richtungstangenten der beiden Kurven können also nur dann linear abhängig sein, wenn  ${}-2y=-10y$  ist, was wegen  ${}y\neq 0$  nicht möglich ist.

Betrachten wir noch die unendlich fernen Punkte. Die Homogenisierungen sind  ${}{\tilde {F}}=XZ-Y^{2}$,  sodass der einzige unendlich ferne Punkt auf  ${}{\bar {C}}=V_{+}({\tilde {F}})$  gleich ${}(1,0,0)$ ist, und  ${}{\tilde {G}}=Y^{2}Z^{3}-X^{5}$,  sodass der einzige unendlich ferne Punkt auf  ${}{\bar {D}}=V_{+}({\tilde {G}})$  gleich ${}(0,1,0)$ ist. Diese Punkte sind verschieden, es gibt also keinen weiteren Schnittpunkt im Unendlichen.

Die Gesamtsumme der Schnittmultiplizitäten ist demnach  ${}2+8\cdot 1=10$.  Da die beteiligten Kurven den Grad ${}2$ und ${}5$ besitzen, stimmt das mit dem Produktgrad  ${}2\cdot 5=10$ 

überein, was die Behauptung des Satzes von Bezout ist.

Zur gelösten Aufgabe