Ebene affine Kurve/Glatter Punkt/Lokaler Ring ist diskreter Bewertungsring/Aufgabe/Lösung

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Zunächst ist ein noetherscher lokaler Ring, der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Daher sind die einzigen Primideale das Nullideal und das maximale Ideal . Wir werden zeigen, dass das maximale Ideal ein Hauptideal ist.

Wir können annehmen, dass der Nullpunkt ist, und schreiben als

mit . Da glatt ist, liegt eine solche Gestalt vor. Durch eine Variablentransformation können wir erreichen, dass ist. Wir können in die isoliert stehenden Potenzen von (die Monome, wo kein vorkommt) zusammenfassen und bei den anderen ausklammern. Dann lässt sich die Gleichung als

schreiben, wobei ist. Es ist eine Einheit in und erst recht im lokalen Ring der Kurve im Nullpunkt. Daher gilt in die Beziehung

Also wird das maximale Ideal im lokalen Ring von allein erzeugt, so dass nach Fakt

ein diskreter Bewertungring vorliegt.
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