Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Da ${}P$ ein glatter Punkt der Kurve ist, können wir ohne Einschränkung  ${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0$  annehmen.

Nach der Produktregel gilt

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)&={\frac {\partial F_{1}\cdots F_{n}}{\partial X}}(P)\\&=\sum _{k=1}^{n}F_{1}(P)\cdots F_{k-1}(P)\cdot {\frac {\partial F_{k}}{\partial X}}(P)\cdot F_{k+1}(P)\cdots F_{n}(P).\end{aligned}}$

Angenommen, es wäre nun  ${}P\in C_{i}\cap C_{j}$  für  ${}i\neq j$,  d. h.  ${}F_{i}(P)=F_{j}(P)=0$.  Dann hätte jedes Produkt der obigen Summe einen Nullfaktor, also wäre auch  ${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P)=0$, 

was ein Widerspruch dazu ist, dass ${}P$ glatt ist.

Zur gelösten Aufgabe