Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ die endlich vielen Punkte aus ${}V(F,G)$ mit den zugehörigen maximalen Idealen ${}{\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{n}$ in ${}K[X,Y]$.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${}K[X,Y]/(F,G)\cong (K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{1}})/(F,G)\times \cdots \times (K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{n}})/(F,G)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen