Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Lokale Beschreibung/Einführung/Textabschnitt

Es seien zwei ebene algebraische Kurven ${}C,D\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht der Durchschnitt ${}C\cap D$ nach Fakt nur aus endlich vielen Punkten. Wir wollen das Schnittverhalten der beiden Kurven in einem Punkt ${}P\in C\cap D$ quantitativ erfassen. Dabei empfiehlt es sich, eine etwas allgemeinere Situation zu betrachten, und zwar schreiben wir $C=V(F)$ und $D=V(G)$ und berücksichtigen, dass in ${}F$ und in ${}G$ Primfaktoren (jeweils) mehrfach vorkommen können. D.h. wir unterscheiden von nun an zwischen den Kurven $V(F)$ und $V(F^{n})$, obwohl es sich geometrisch um das gleiche Objekt handelt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Es sei ${}P\in V(F,G)$ und ${}R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$ die zugehörige Lokalisierung.

Dann besitzt der Restklassenring ${}R/(F,G)$ eine endliche ${}K$-Dimension.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {m}}$ das maximale Ideal in ${}R$. Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler haben, gibt es in ${}R$ zwischen $(F,G)$ und ${\mathfrak {m}}$ kein weiteres Primideal. Daher ist in ${}R/(F,G)$ jede Nichteinheit nilpotent. Daher gilt in ${}R$ die Beziehung ${}{\mathfrak {m}}^{s}\subseteq (F,G)\subseteq {\mathfrak {m}}$ für ein ${}s$. Es liegt daher eine Surjektion

$R/{\mathfrak {m}}^{s}\longrightarrow R/(F,G)$

vor. Nach Fakt besitzt der Restklassenring links eine endliche ${}K$-Dimension, so dass dies auch für den Restklassenring rechts gilt.

$\Box$

Aufgrund von diesem Lemma ist die folgende Definition sinnvoll.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei

${}P\in V(F)\cap V(G)=V(F,G)\,.$

Dann nennt man die Dimension

$\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}$

die Schnittmultiplizität der beiden Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ im Punkt ${}P$. Sie wird mit

$\operatorname {mult} _{P}(F,G){\text{ oder mit }}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))$

bezeichnet.

Beispiel

Sei ${}C=V(F)$ und eine Gerade ${}G=V(cX+dY)$ in der affinen Ebene ${}{\mathbb {A} }_{K}^{2}$ gegeben, die keine Komponente von ${}C$ sei. Es sei ${}P=(a,b)\in C\cap G$ ein Punkt des Durchschnitts. Den Restklassenring

$K[X,Y]_{P}/(F,cX+dY)$

berechnet man, indem man mittels des linearen Terms nach einer der Variablen ${}X$ oder ${}Y$ auflöst. Damit kann man eine Variable eliminieren und der Restklassenring ist isomorph zu ${}K[X]_{P}/({\tilde {F}})$, wobei man ${}{\tilde {F}}$ erhält, indem man in ${}F$ die Variable ${}Y$ durch ${}-{\frac {c}{d}}X$ ersetzt. Dies kann man auch so sehen, dass man zuerst ${}K[X]/({\tilde {F}})$ berechnet und dann an dem Punkt lokalisiert. Das Polynom ${}{\tilde {F}}$ hat in ${}K[X]$ eine Faktorisierung in Linearfaktoren (der Körper sei algebraisch abgeschlossen)

${}{\tilde {F}}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{1}}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{k}}\,.$

Da der Punkt ${}P$ eine Nullstelle ist, muss ${}a=\lambda _{i}$ für ein ${}i$ sein. Bei der Lokalisierung werden die anderen Linearfaktoren zu Einheiten gemacht und „übrig“ bleibt

$K[X]/(X-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.$

Dieser Ring hat die Dimension ${}\nu _{i}$.

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, ${}m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und ${}L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt ${}P$, die keine Komponente von ${}V(F)$ sei.

Dann ist

${}\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,$

d.h. die Schnittmultiplizität einer Kurve mit einer Geraden ist mindestens so groß wie die Multiplizität der Kurve im Schnittpunkt.

Wenn ${}L$ keine Tangente der Kurve ist, so gilt hierbei Gleichheit.

Beweis

Wir setzen ${}R=K[X,Y]_{(X,Y)}$ und ${}H=aX+bY$, und wir nehmen ${}b\neq 0$ an, so dass wir ${}Y=cX$ schreiben können. Es sei zunächst die Gerade ${}L$ keine Tangente von ${}V(F)$ in ${}P$, also keine Komponente von ${}V(F_{m})$. Es ist dann

${}R/(F,H)\cong K[X]_{(X)}/(F_{m}(X,cX)+\cdots +F_{d}(X,cX))\,.$

Hierbei ist ${}F_{m}(X,cX)\neq 0$ und es wird ${}X^{m}u$ mit einer Einheit ${}u$ rausdividiert, so dass der Restklassenring die ${}K$-Dimension ${}m$ besitzt. Im allgemeinen Fall gibt es ein minimales ${}i$, ${}m\leq i\leq d$, mit ${}F_{i}(X,cX)\neq 0$ (sonst wäre ${}L$ eine Komponente von ${}V(F)$). Dann ist mit dem gleichen Argument die Dimension des Restklassenringes gleich ${}i\geq m$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei ${}P\in {\mathbb {A} }_{K}^{2}$ ein Punkt. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=0$ genau dann, wenn ${}P\not \in V(F,G)$ ist.
2. Es ist ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(G,F)$.
3. Die Schnittmultiplizität ändert sich nicht bei einer affinen Variablentransformation.
4. Wenn ${}F=F_{1}F_{2}$ mit ${}F_{2}(P)\neq 0$ ist, so ist ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(F_{1},G)$.
5. Es ist ${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\operatorname {mult} _{P}(F,G+HF)$ für jedes ${}H\in K[X,Y]$.

Beweis

Das ist trivial.

$\Box$

Teil (4) der letzten Aussage kann man auch so formulieren, dass die Schnittmultiplizität nur von den Komponenten von $F$ und $G$ abhängen, die durch ${}P$ gehen.

Ein transversaler und ein nichttransversaler Schnitt.

Definition

Es seien ${}F,G\in K[X,Y]$ und ${}P\in V(F,G)$. Dann sagt man, dass sich ${}V(F)$ und ${}V(G)$ im Punkt ${}P$ transversal schneiden, wenn ${}P$ sowohl auf ${}V(F)$ als auch auf ${}V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt ${}P$ verschieden sind.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei

${}P\in V(F,G)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

ein Schnittpunkt.

Dann schneiden sich $V(F)$ und $V(G)$ in ${}P$ genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität ${}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))=1$ ist.

Beweis

Es sei ${}R=K[X,Y]_{\mathfrak {m}}$ der lokale Ring zum (Null-)Punkt ${}P$ in der Ebene. Es sei zunächst der Schnitt als transversal vorausgesetzt. Dann sind insbesondere beide Kurven in ${}P$ glatt, und ${}B=R(F)$ ist nach Fakt ein diskreter Bewertungsring. Da die Tangenten verschieden sind, können wir annehmen, dass die Tangente an $V(F)$ durch $V(Y)$ und die Tangente an $V(G)$ durch $V(X)$ gegeben ist. Nach dem Beweis zu Fakt ist dann ${}X$ eine Ortsuniformisierende von ${}B$. Da ${}G$ die Form $G=X+H$ mit $H\in {\mathfrak {m}}^{2}$ hat, ist ${}G$ ebenfalls eine Ortsuniformisierende in ${}B$ und daher ist ${}B/(G)=K$. Daher ist die Schnittmultiplizität eins.

Für die Rückrichtung folgt aus Fakt, dass die Multiplizität der beiden Kurven in ${}P$ eins sein muss und daher beide Kurven in ${}P$ glatt sind. Nehmen wir an, dass die Tangenten übereinstimmen. Dann können wir annehmen, dass sowohl $F$ als auch $G$ die Form ${}Y+$ Terme von größerem Grad besitzen. Man kann die Idealerzeuger ${}(F,G)$ durch ${}(F,F-G)$ ersetzen, und dabei ist ${}F-G\in {\mathfrak {m}}^{2}$. Dann erzeugt aber ${}F-G$ in ${}B=R/(F)$ nicht das maximale Ideal, und die Schnittmultiplizität kann nicht eins sein.

$\Box$

Satz

Es seien ${}F,G\in K[X,Y]$ Polynome ohne gemeinsamen Primteiler mit Faktorzerlegungen

$F=\prod _{i=1}^{m}F_{i}^{\nu _{i}}{\text{ und }}G=\prod _{j=1}^{n}G_{j}^{\mu _{j}}$

Dann ist

${}\operatorname {mult} _{P}(F,G)=\sum _{i,j}\nu _{i}\mu _{j}\operatorname {mult} _{P}(F_{i},G_{j})\,.$

Beweis

Diese Aussage folgt durch Induktion aus dem Spezialfall ${}F=F_{1}F_{2}$ (und $G=G$). Sei ${}R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wegen ${}(F_{1}F_{2},G)\subseteq (F_{2},G)$ hat man eine surjektive Abbildung ${}R/(F_{1}F_{2},G)\rightarrow R/(F_{2},G)$. Andererseits induziert die Multiplikation mit ${}F_{2}$ einen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}R/(F_{1},G)\rightarrow R/(F_{1}F_{2},G)$. Wir behaupten, dass eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/(F_{1},G)\,{\stackrel {\cdot F_{2}}{\longrightarrow }}\,R/(F_{1}F_{2},G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/(F_{2},G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt. Dabei ist die Surjektivität klar und ebenso, dass die hintereinander geschalteten Abbildungen die Nullabbildung sind. Es sei ${}z\in R/(F_{1}F_{2},G)$ ein Element, das rechts auf ${}0$ abgebildet wird. Dann kann man in ${}R$ schreiben: ${}z=AF_{2}+BG$. Dann repräsentiert ${}AF_{2}$ ebenfalls diese Klasse in ${}R/(F_{1}F_{2},G)$, und dieses kommt von links. Es sei nun ${}w\in R/(F_{1},G)$ ein Element, das durch Multiplikation mit ${}F_{2}$ auf ${}0$ abgebildet wird, also ${}wF_{2}=CF_{1}F_{2}+DG$. Wir schreiben dies als

${}(w-CF_{1})F_{2}=DG\,.$

Da ${}F$ und ${}G$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen, gilt dies erst recht für ${}F_{2}$ und ${}G$. Also muss ${}F_{2}$ ein Teiler von ${}D$ sein und es ergibt sich eine Beziehung ${}(w-CF_{1})={\tilde {D}}G$, woraus folgt, dass bereits ${}w=0$ ist.

Aus der Additivitätseigenschaft von kurzen exakten Sequenzen folgt die gewünschte Identität

${}{\begin{aligned}\operatorname {mult} _{P}(F_{1}F_{2},G)&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1}F_{2},G)\right)}\\&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1},G)\right)}+\dim _{K}{\left(R/(F_{2},G)\right)}\\&=\operatorname {mult} _{P}(F_{1},G)+\operatorname {mult} _{P}(F_{2},G).\end{aligned}}$

$\Box$