Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion/Abschluss/Projektive Parametrisierung/Probe/Erster Fall/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien  ${}G,H\in K[X]$  Polynome in einer Variablen vom Grad  ${}d>e\geq 0$  ohne gemeinsame Nullstelle. Zeige, dass die in Bemerkung beschriebene projektive Parametrisierung des Graphen der rationalen Funktion ${}G/H$, also

${\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto \left({\hat {H}}(x,y)xy^{d-e-1},\,{\hat {G}}(x,y),\,{\hat {H}}(x,y)y^{d-e}\right),$

in der Tat die in Fakt gegebene Gleichung  ${}{\hat {H}}(X,Z)YZ^{d-e-1}-{\hat {G}}(X,Z)=0$  erfüllt.

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