Eigentliche Symmetriegruppe/Würfel/Isotropiegruppe/Innere Automorphismen/Aufgabe/Lösung

a) Man braucht (im Sinne von Fakt) eine Würfelbewegung, die die positive ${}x$-Achse in die positive ${}z$-Achse überführt. Das wird durch die Matrix

${\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

erreicht (Viertelderehung um die ${}y$-Achse). Der zugehörige innere Automorphismus ist

$G\longrightarrow G,\,M\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},$

und dieser führt die Isotropiegruppe zur positiven ${}x$-Achse in die Isotropiegruppe zur positiven ${}z$-Achse über. Unter dieser Abbildung wird

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},$

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}},$

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

und

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

zugeordnet.

b) Die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}$ (Vierteldrehung um die ${}x$-Achse) bildet ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ auf ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}}$ ab. Der zugehörige innere Automorphismus ist

$G\longrightarrow G,\,M\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},$

Unter dieser Abbildung werden die Isotropiegruppen über

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}},$

${\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{pmatrix}}$

und

${\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{pmatrix}}$

ineinander überführt.

c) Die Matrix ${}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$ (Halbdrehung um die ${}x$-Achse) bildet ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$ auf ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ ab. Der zugehörige innere Automorphismus ist

$G\longrightarrow G,\,M\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},$

Unter dieser Abbildung werden die Isotropiegruppen über

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

und

${\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

ineinander überführt.

Zur gelösten Aufgabe